Tilknytt legendre-funksjon
Ein tilknytt legendre-funksjon er i matematikk ei kanonisk løysing av den generelle legendre-likninga
eller
der indeksane og m (som generelt er komplekse storleikar) vert kalla graden og ordenen til den tilknytte legendre-funksjonen. Denne likninga har løysingar som er ikkje-singulære på [−1, 1] berre visst og m er heiltal med 0 ≤ m ≤ , eller med trivielle ekvivalente negative verdiar. Når m i tillegg er eit liketal, er funksjonen eit polynom. Når m er null og eit heiltal er desse funksjonane identiske til legendre-polynom.
Denne ordinære differensiallikninga er ofte nytta i fysikk og andre tekniske felt. Særleg dukkar han opp i løysinga av laplace-likninga (og tilknytte partielle differensiallikningar) i sfæriske koordinatar.
Dei første tilknytte legendre-polynoma
Dei første tilknytte legendre-polynoma, inkludert dei for negative verdiar av m, er:
Gjentakingsformel
Desse funksjonane har fleire gjentakande eigenskapar:
Nyttige identitetar (initialverdiar for den første repetisjonen):
med !! som dobbelfaktor.