Liczby Pella

Liczby Pella – liczby naturalne opisane przez następujący wzór rekurencyjny:

Srebrny prostokąt, powiązany z l.P.

P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{gdy }}n=0;\\1&{\mbox{gdy }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\text{gdy }}n>1\end{cases}}

Własności i przykłady

Pierwsze wyrazy ciągu liczb Pella to:

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378...

$n$ -ty wyraz tego ciągu da się również obliczyć ze wzoru:

P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.

Istnieje także wzór macierzowy:

{\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.

Granica ilorazu dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa odwrotności srebrnej liczby, tzn.

\lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n+1}}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}.

Suma odwrotności liczb Pella (dla $n>0$ ) jest zbieżna do pierwiastka z dwóch, tzn.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{n}}}={\sqrt {2}}.

Zobacz też

ciąg Fibonacciego

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pell Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-07-02].

Źródło: „https:https://www.search.com.vn/wiki/index.php?lang=pl&q=Liczby_Pella&oldid=73411720”

🔥 Top keywords: Wikipedia:Strona główna Specjalna:Szukaj Robert Fico Yasuke Agnieszka Osiecka Słowacja Dariusz Joński Nowa Kaledonia Zuzana Čaputová Kierunek – Socjalna Demokracja Andrzej Bobola Polska Krzysztof Rutkowski (ur. 1960)Marek Hłasko Cher Iga Świątek Peter Pellegrini Bańska Bystrzyca Urugwaj (rzeka)16 maja Zmarli w maju 2024 Konkurs Piosenki Eurowizji 2024 Ján Kuciak Waldemar Buda Tomasz Szmydt Halina Konopacka Coco Gauff Danielle Collins Mistrzostwa Europy w Piłce Nożnej 2024 MiG-31 Handlová Bitwa o Monte Cassino Ołeksandr Usyk Nemo Mettler Mistrzostwa Świata w Hokeju na Lodzie 2024 (elita)Specjalna:Ostatnie zmiany Wojciech Cejrowski Władysław II Jagiełło Warzęcha