Test t Studenta

Jeśli próba losowa pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym, to średnia z próby również ma rozkład normalny z taką samą jak w populacji wartością oczekiwaną. Różnica średniej z próby i średniej z populacji dzielona przez błąd standardowy średniej (iloraz odchylenia standardowego z populacji i pierwiastka z liczebności próby) ma standaryzowany rozkład normalny. Odchylenie standardowe w populacji nie jest jednak zwykle znane. Jeśli zastąpimy je odchyleniem z próby, uzyskamy rozkład t, który zbiega do rozkładu normalnego wraz ze wzrostem wielkości próby^[1].

Hipoteza zerowa. Oznaczmy średnią z próby symbolem ${\displaystyle {\bar {X}},}$ a wariancję z próby – symbolem ${\displaystyle S^{2}.}$ W ramach testu jednej średniej weryfikuje się hipotezę zerową, że średnia rozkładu, z którego pobierana jest próbka o liczebności ${\displaystyle n,}$ jest równa pewnej liczbie ${\displaystyle \mu _{0}.}$ Jeżeli ta hipoteza zerowa jest prawdziwa, statystyka T, dana wzorem

${\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}-\mu _{0}}{S}}{\sqrt {n}}}$

ma rozkład t z ${\displaystyle n-1}$ stopniami swobody.

Formy hipotezy alternatywnej. Hipoteza alternatywna może przyjąć formę dwustronną ${\displaystyle \mu \neq \mu _{0}}$ (średnia w populacji nie jest równa ${\displaystyle \mu _{0}}$ ) lub formę jednostronną: lewostronną (${\displaystyle \mu <\mu _{0}}$ ) lub prawostronną (${\displaystyle \mu >\mu _{0}}$ )^[2]. Podobnie jak w innych podobnych testach, w zależności od formy hipotezy alternatywnej oraz przyjętego poziomu istotności ${\displaystyle \alpha }$ wyznacza się obszar krytyczny lub wartość p.

Kryterium decyzyjne. Analogicznie do wielu innych testów statystycznych, jeżeli uzyskana w próbie wartość statystyki testowej T znajdzie się w obszarze krytycznym lub (co jest równoważne) wartość p nie przekroczy ${\displaystyle \alpha }$ , hipoteza zerowa jest odrzucana.

Założenia. Zakłada się, szczególnie w przypadku małych prób (np. ${\displaystyle n\leq 30}$ ^[2]), że rozkład w populacji, z której pobiera się próbę losową, ma w przybliżeniu rozkład normalny.

Hipoteza zerowa. W przypadku testu dwóch średnich porównywane są średnie z dwóch prób o liczebnościach ${\displaystyle n_{1}}$ i ${\displaystyle n_{2}}$ pochodzących z dwóch populacji. Hipoteza zerowa zwykle zakłada równość dwóch średnich w populacjach (${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}}$ ), co jest równoznaczne stwierdzeniu, że różnica pomiędzy tymi średnimi wynosi zero (${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}=0}$ ). Konstrukcja testu pozwala również na niezerową wartość różnicy w hipotezie zerowej (${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}=D_{0}}$ ), w praktyce najczęściej jednak ${\displaystyle D_{0}=0.}$

Hipoteza alternatywna. Hipoteza alternatywna może być, podobnie jak w teście jednej średniej, dwustronna ${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}\neq D_{0}}$ lewostronna (${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}<D_{0}}$ ) lub prawostronna (${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}>D_{0}}$ ).

Statystyka testowa dana jest wzorem^[3]:

${\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}-D_{0}}{\sqrt {{\frac {(n_{1}-1)S_{1}^{2}+(n_{2}-1)S_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)}}}}$ ,

gdzie ${\displaystyle {\overline {X}}_{1}}$ i ${\displaystyle S_{1}^{2}}$ to średnia i wariancja w pierwszej próbie, a ${\displaystyle {\overline {X}}_{2}}$ i ${\displaystyle S_{2}^{2}}$ to analogiczne statystyki z drugiej próby, ma rozkład t o ${\displaystyle n_{1}+n_{2}-2}$ stopniach swobody.

Założenia. Przeprowadzając test, zakłada się, że rozkłady w populacjach są w przybliżeniu normalne. Jest to ważne w przypadku małych prób, ponieważ dla większych prób test jest odporny na umiarkowane odstępstwa od tego założenia. Test wymaga ponadto założenia o równości wariancji w obu populacjach. Podobny test umożliwiający pominięcie założenia o równości wariancji nazywany jest testem t Welcha.

Test różnicy średnich dla obserwacji powiązanych w pary. Jeżeli obserwacje z dwóch populacji można powiązać w pary (na przykład testujemy zużycie paliwa wylosowanych samochodów w jeździe miejskiej i poza miastem albo umiejętności uczestników szkoleń przed i po szkoleniu), należy obliczyć różnice dla każdej pary i na tak przygotowanych danych (na obliczonych różnicach) przeprowadzić test jednej średniej^[3].