Звёздчатый октаэдр
Звёздчатый октаэдр, или stella octangula, — единственная звёздчатая форма октаэдра. Латинским именем stella octangula многогранник назвал Кеплер в 1609, хотя он был известен более ранним геометрам[англ.]. Так, он изображён в труде Пачоли De Divina Proportione, 1509.
Звёздчатый октаэдр | |
---|---|
Комбинаторика | |
Элементы | |
Грани | правильные треугольники |
Двойственный многогранник | самодвойственен |
Классификация | |
Символ Шлефли | |
Диаграмма Дынкина | ∪ = |
Группа симметрии | Октаэдральная (Oh) [4,3] or [[3,3]] |
Медиафайлы на Викискладе |
Многогранник является простейшим из пяти правильных соединений многогранников.
Звёздчатый октаэдр можно рассматривать как трёхмерное обобщение гексаграммы — гексаграмма является двумерной фигурой, образованной двумя наложенными друг на друга правильными треугольниками, центрально симметричными друг другу, и точно таким же образом звёздчатый октаэдр может быть образован из двух центрально симметричных пересекающихся тетраэдров. Его же можно рассматривать как одну из стадий построения 3D-снежинки Коха, фрактальной фигуры, получаемой повторяющимся присоединением меньших тетраэдров к каждой треугольной поверхности большей фигуры. Начальной стадией построения снежинки Коха является один центральный тетраэдр, а второй стадией, полученной добавлением четырёх меньших тетраэдров к граням центрального тетраэдра, и будет звёздчатый октаэдр.
Построение
Звёздчатый октаэдр можно получить несколькими путями:
- Это образование звёздчатой формы правильного октаэдра, сохраняющее его плоскости граней. Грани звезды очень простые: (См. модель Веннинджера W19).
- Он является правильным соединением многогранников, если строить как объединение двух тетраэдров (тетраэдр и двойственный ему тетраэдр).
- Его можно получить дополнением правильного октаэдра треугольными пирамидами к каждой грани. В этом построении многогранник имеет ту же топологию, что и выпуклое каталаново тело триакисоктаэдр, имеющее куда более короткие пирамиды.
- Это огранка куба с сохранением вершин.
Связанные концепции
Можно построить соединение двух сферических тетраэдров, как показано на рисунке.
Два тетраэдра в соединении звёздчатого октаэдра являются «десмичными», что означает (если рассматривать их как прямые в проективном пространстве), что каждое ребро одного тетраэдра пересекает противоположное ребро другого тетраэдра. Одно из таких пересечений видно в звёздчатом октаэдре. Другое пересечение оказывается в бесконечной точке проективной плоскости между двумя параллельными рёбрами двух тетраэдров. Эти два тетраэдра могут быть дополнены до десмичной системы[англ.] трёх тетраэдров, где третий тетраэдр имеет в качестве чётырёх вершин три точки пересечения на бесконечности и центроид двух конечных тетраэдров. Те же самые двенадцать вершин тетраэдров образуют точки конфигурации Рейе.
Числа звёздчатого октаэдра — фигурные числа, подсчитывающие число шаров, которые можно расположить внутри звёздчатого октаэдра. Эти числа равны
В популярной культуре
Звёздчатый октаэдр представлен наряду с некоторыми другими многогранниками и соединениями многогранников на картинах Эшера «Звёзды» [1] и «Двойной астероид» (1949)[2].
Галерея
- Это полная симметрическая огранка куба
Примечания
Литература
Ссылки
- VRML модель: [1]
- MathWorld, Stella Octangula Архивная копия от 10 декабря 2015 на Wayback Machine
- KlitzingPolytopes|../incmats/so.htm Richard Klitzing, 3D compound Архивная копия от 6 ноября 2015 на Wayback Machine