Кеплеровы элементы орбиты

В случае если орбита является эллипсом, его большая полуось ${\displaystyle a}$  положительна^[1] и равна половине длины большой оси эллипса, то есть половине длины линии апсид, соединяющей апоцентр и перицентр эллипса^[1][2][3].

Определяется знаком и величиной полной энергии тела: ${\displaystyle a=-{\frac {GMm}{2E}}}$ ^[3]. Связана с положением и скоростью тела соотношением ${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {2}{r_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{\mu }}}$ , где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела^[1][2].

Эксцентрисите́т (обозначается «${\displaystyle e}$ » или «ε») — числовая характеристика конического сечения.Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия^[4].Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$ , где ${\displaystyle b}$  — малая полуось (см. рис.2)

В зависимости от величины ${\displaystyle \varepsilon }$ орбита представляет собой^[1][2][3][5]:

• ${\displaystyle \varepsilon =0}$  — окружность
• ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$  — эллипс
• ${\displaystyle \varepsilon =1}$  — параболу
• ${\displaystyle 1<\varepsilon <\infty }$  — гиперболу, ${\displaystyle b}$  — мнимое число
• ${\displaystyle \varepsilon =\infty }$  — прямую (вырожденный случай)

Наклоне́ние <орбиты> (накло́н <орбиты>, накло́нность <орбиты>) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если ${\displaystyle 0^{\circ }<i<90^{\circ }}$ , то движение небесного тела называется прямым^[6].

Если ${\displaystyle 90^{\circ }<i<180^{\circ }}$ , то движение небесного тела называется обратным (ретроградным).

• В применении к Солнечной системе, за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли (плоскость эклиптики). Плоскости орбит других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.
• Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.
• Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
• Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

Формула нахождения долготы восх. узла:

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {k} \times \mathbf {h} =(-h_{y},h_{x},0)}$

${\displaystyle \Omega =\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}\geq 0);}$

${\displaystyle \Omega =2\pi -\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}<0).}$

Здесь n — вектор, определяющий восходящий узел.

У орбит с наклоном, равным нулю Ω не определяется (она, как и наклон, равна нулю).

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается (${\displaystyle \omega }$ ).

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$ . Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным^[7].

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой ${\displaystyle M}$ (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия ${\displaystyle M}$ вычисляется по следующим формулам:

${\displaystyle M=M_{0}+n(t-t_{0})}$

где:

• ${\displaystyle M_{0}}$  — средняя аномалия на эпоху ${\displaystyle t_{0}}$ ,
• ${\displaystyle t_{0}}$  — начальная эпоха,
• ${\displaystyle t}$  — эпоха, на которую производятся вычисления, и
• ${\displaystyle n}$  — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

${\displaystyle M=E-e\cdot \sin E}$

где:

• ${\displaystyle E}$  — эксцентрическая аномалия (${\displaystyle E}$ на рис.3),
• ${\displaystyle e}$  — эксцентриситет.

• Gurfil, Pini (2005). "Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits". J. Guid. Contrl. Dynamics. 28 (5): 1079—1084. Bibcode:2005JGCD...28.1079G. doi:10.2514/1.14760.
• Tutorial  (неопр.). AMSAT. Архивировано из оригинала 14 октября 2002 года.
• Orbits Tutorial  (неопр.). marine.rutgers.edu. Дата обращения: 30 июля 2019. Архивировано из оригинала 19 апреля 2021 года.