Параллельные прямые

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются^[1].В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными^[2][3].

Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности^[4].

Параллельность прямых ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ принято обозначать следующим образом: ${\displaystyle m\parallel n.}$

Свойства

• Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Замена пятого постулата контр-утверждением ведёт к геометрии Лобачевского (см. ниже) или к геометрии Римана (в зависимости от того, какое утверждение выбрано: можно провести больше одной прямой или ни одной).
• Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
  • Соответственные углы равны (Рис.1).
  • Накрест лежащие углы равны (Рис.2).
  • Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (Рис.3).

Рис.1: Соответственные углы равны, ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}}$ .	Рис.2: Внутренние накрест лежащие углы равны, ${\displaystyle \alpha =\gamma _{1}}$ .	Рис.3: Односторонние углы являются дополнительными, ${\displaystyle \alpha +\delta _{1}=180^{\circ }}$ .

• Если считать совпадающие прямые параллельными, то параллельность будет бинарным отношением эквивалентности, которое разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
• Множество точек плоскости, расположенных на некотором фиксированном расстоянии от данной прямой, по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной.

Построение параллельных прямых

Построение двух параллельных прямых на плоскости с помощью циркуля и линейки можно разделить на несколько этапов:

1. Построение прямой ${\displaystyle a}$ , относительно которой нужно построить параллельную прямую.
2. Построение прямой ${\displaystyle b}$ , перпендикулярной прямой ${\displaystyle a}$ (см. построение перпендикуляра).
3. Построение прямой ${\displaystyle c}$ , перпендикулярной прямой b, и не совпадающей с прямой ${\displaystyle a}$ (аналогично построению прямой ${\displaystyle b}$ ).

В стереометрии

В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися прямыми.

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку ${\displaystyle C}$ вне данной прямой ${\displaystyle AB}$ проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих ${\displaystyle AB}$ .Прямая ${\displaystyle CE}$ называется равнобежной прямой ${\displaystyle AB}$ в направлении от ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle B}$ , если:

1. точки ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle E}$ лежат по одну сторону от прямой ${\displaystyle AC}$ ;
2. прямая ${\displaystyle CE}$ не пересекает прямую ${\displaystyle AB}$ , но всякий луч, проходящий внутри угла ${\displaystyle ACE}$ , пересекает луч ${\displaystyle AB}$ .

Аналогично определяется прямая, равнобежная ${\displaystyle AB}$ в направлении от ${\displaystyle B}$ к ${\displaystyle A}$ .

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными.Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися^[5].

Свойства

• Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр.
  • Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.

• Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.

• Параллельность плоскостей
• Антипараллельные прямые
• Перпендикулярность
• Ортогональность