Пятиугольный многогранник

Семейство начинается с одномерных многогранников (отрезок, n = 1) и завершается бесконечным замощением 4-мерной гиперболической сферы с n = 5.

Существует два типа пятиугольных многогранников. Один тип можно назвать додекаэдральные многогранники, а другой — икосаэдральные, в зависимости от его трёхмерных частей. Эти два типа двойственны друг другу.

Додекаэдральные многогранники

Полное семейство додекаэдральных многогранников состоит из:

1. Отрезок, { }
2. Пятиугольник, {5}
3. Додекаэдр, {5, 3} (12 пятиугольных граней)
4. Стодвадцатигранник, {5, 3, 3} (120 додекаэдральных ячеек)
5. Стодвадцатиячейные соты порядка 3, {5, 3, 3, 3} — замощают гиперболическое 4-мерное пространство

Фасеты любого додекаэдрального многогранника являются додекаэдральными пятиугольными многогранниками на единицу меньшей размерности. Их вершинными фигурами являются симплексы на единицу меньшей размерности.

Додекаэдральные пятиугольные многогранники

n	Группа Коксетера	Многоугольник Петри (проекция)	Название диаграмма Коксетера Символ Шлефли	Фасеты	Элементы
					Вершины	Рёбра	Грани	Ячейки[англ.]	4-грани
1	${\displaystyle H_{1}}$ [ ] (порядок 2)		Отрезок { }	2 вершины	2
2	${\displaystyle H_{2}}$ [5] (порядок 10)		Пятиугольник {5}	5 рёбер	5	5
3	${\displaystyle H_{3}}$ [5,3] (порядок 120)		Додекаэдр {5, 3}	12 пятиугольников	20	30	12
4	${\displaystyle H_{4}}$ [5,3,3] (порядок 14400)		Стодвадцатиячейник {5, 3, 3}	120 додекаэдров	600	1200	720	120
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$ [5,3,3,3] (порядок ∞)		Стодвадцатиячейные соты {5, 3, 3, 3}	∞ Стодвадцатиячейников	∞	∞	∞	∞	∞

Икосаэдральные многогранники

Полное семейство икосаэдральных пятиугольных многогранников состоит из:

1. Отрезок, { }
2. Пятиугольник, {5}
3. Икосаэдр, {3, 5} (20 треугольных граней)
4. Шестисотячейник, {3, 3, 5} (120 тетраэдральных ячеек)
5. Пятиячейные соты пятого порядка^[англ.], {3, 3, 3, 5} — замощают гиперболическое 4-мерное пространство (∞ пятиячейных фасет)

Фасеты любого икосаэдрального пятиугольного многогранника являются симплексами на единицу меньшей размерности. Вершинными фигурами многогранников являются икосаэдральные пятиугольные многогранники на единицу меньшей размерности.

Икосаэдральные пятиугольные многогранники

n	Группа     Коксетера	Многоугольник Петри (проекция)	Название диаграмма Коксетера Символ Шлефли	Фасеты	Элементы
					Вершины	Рёбра	Грани	Ячейки[англ.]	4-грани
1	${\displaystyle H_{1}}$ [ ] (порядок 2)		Отрезок { }	2 вершины	2
2	${\displaystyle H_{2}}$ [5] (порядок 10)		Пятиугольник {5}	5 рёбер	5	5
3	${\displaystyle H_{3}}$ [5,3] (порядок 120)		Икосаэдр {3, 5}	20 правильных треугольников	12	30	20
4	${\displaystyle H_{4}}$ [5,3,3] (порядок 14400)		Шестисотячейник {3, 3, 5}	600 тетраэдров	120	720	1200	600
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$ [5,3,3,3] (порядок ∞)		Пятиячейные соты пятого порядка[англ.] {3, 3, 3, 5}	∞ Пятиячейников	∞	∞	∞	∞	∞

От пятиугольных многогранников могут быть образованы звёзчатые формы с получением новых звёздчатых правильных многогранников:

• В трёхмерном пространстве получаются четыре многогранника Кеплера — Пуансо — {3,5/2}, {5/2,3}, {5,5/2} и {5/2,5}.
• В четырёхмерном пространстве получаются десять многогранников Шлефли-Гесса: {3,5,5/2}^[англ.],{{5/2,5,3}^[англ.], {5,5/2,5}^[англ.], {5,3,5/2}^[англ.], {5/2,3,5}^[англ.], {5/2,5,5/2}^[англ.], {5,5/2,3}^[англ.], {3,5/2,5}^[англ.], {3,3,5/2}^[англ.] и {5/2,3,3}.
• В четырёхмерном гиперболическом пространстве существуют четыре правильных звёздчатых сот: {5/2,5,3,3}^[англ.], {3,3,5,5/2}^[англ.], {3,5,5/2,5}^[англ.] и {5,5/2,5,3}^[англ.].

• H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. — Wiley-Interscience Publication, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
  • (Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]
• H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes^[англ.]. — 3rd (1947, 63, 73). — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. 292—293. — ISBN 0-486-61480-8.