Малый звёздчатый додекаэдр

Малый звёздчатый додекаэдр

Тип	тело Кеплера — Пуансо
Звёздчатая форма	Правильного додекаэдра
Элементы	F = 12, E = 30, V = 12
Характеристика Эйлера	$\chi$ = -6
Грани по типам	12{⁵/₂}
Символ Шлефли	{⁵/₂,5}
Символ Витхоффа	5 \| 2⁵/₂
Диаграмма Коксетера
Группа симметрии	I_h, H₃, [5,3], (*532)
Обозначения	U₃₄,C₄₃, W₂₀
Свойства	правильный невыпуклый
(⁵/₂)⁵ (Вершинная фигура)	Большой додекаэдр (двойственный многогранник)

Малый звёздчатый додекаэдр^[1]^[2]^[3] — тело Кеплера — Пуансо, с символом Шлефли {5/2,5}. Многограннику дал имя Артур Кэли. Многогранник является одним из четырёх невыпуклых правильных многогранников. Он состоит из 12 граней в виде пентаграмм с пятью пентаграммами, сходящимися в каждой вершине.

Он имеет то же самое расположение вершин^[en], что и выпуклый правильный икосаэдр. Кроме того, у него то же самое расположение рёбер^[en], что и у большого икосаэдра.

Он считается первой звёздчатой формой додекаэдра.

Если рассматривать грани в виде пентаграммы как 5 отдельных треугольных граней, он имеет ту же топологию поверхности, что и пентакисдодекаэдр, но с существенно более острыми равнобедренными треугольными гранями с такой высотой пятиугольных пирамид, что пять треугольников становятся копланарными (лежащими в одной плоскости).

Рисунки

Прозрачная модель	Собранные вручную модели
(см. также : в движении)
Сферическая мозаика	Звёздчатая форма	Развёртка
Этот многогранник представляет также сферическую мозаику с плотностью 3. (Одна сферическая грань в виде пентаграммы прочерчена синей линией и заполнена жёлтым)	Его можно построить как первую из трёх звёздчатых форм додекаэдра и его номер в списке моделей Веннинджера [W20].	× 12 Малый звёздчатый додекаэдр можно построить из бумаги или картона путём соединения двенадцати пятиугольных равнобочных пирамид таким же образом, как располагаются пятиугольники в правильном додекаэдре.

В искусстве

Его также можно видеть в мозаике пола в соборе Святого Марка в Венеции, автор Паоло Уччелло, около 1430.
Он является центральной фигурой в двух литографиях Эшера — Контраст (Порядок и хаос) (1950) и Гравитация (1952).

Связанные многогранники

Выпуклая оболочка многогранника является икосаэдром. Он также имеет общие рёбра с большим икосаэдром.

Этот многогранник является усечением большого додекаэдра — усечённый малый звёздчатый додекаэдр выглядит как додекаэдр, но имеет не 12, а 24 грани — 12 пятиугольников, полученных от усечения вершин, и 12 перекрывающих их пятиугольников (полученных от усечения пентаграм).