Участник:Melirius/Французский вариант общей теории относительности

Необходимость релятивистской теории гравитации

Теория гравитации Ньютона основана на понятии силы тяготения, которая является дальнодействующей силой - она действует мгновенно на любом растоянии. Этот мгновенный характер действия несовместим с полевой парадигмой современной физики, и, в частности, со специальной теорией относительности, выведенной Эйнштейном, Пуанкаре и Лоренцом в 1905 году. Действительно, в этой теории никакая информация не может распространиться быстрее скорости света в вакууме.

Математически сила гравитации Ньютона выводится из гравитационной потенциальной энергии. Потенциал гравитации, соответствующий этой потенциальной энергии, подчиняется уравнению Пуассона, которое не инвариантно при преобразованиях Лоренца. Причина этого лежит в том, что энергия в специальной теории относительности уже не является скалярной величиной, а переходит во временную компоненту 4-вектора. Векторная же теория гравитации оказывается вполне аналогичной теории электромагнитного поля Максвелла и приводит к отрицательной энергии гравитационных волн, что связано с характером взаимодействия: одноимённые заряды - массы - в гравитации притягиваются, а не отталкиваются, как в электромагнетизме (см. "Гравитация", т. 1, с. 227-228). Таким образом, теория гравитации Ньютона несовместима с фундаментальным принципом специальной теорией относительности, то есть инвариантностью законов природы в любой инерциальной системе отсчёта, а прямое векторное обобщение теории Ньютона, впервые предложенное Пуанкаре в 1905 в его работе "О динамике электрона", приводит к физически неудовлетворительным результатам.

С принципом инвариантности законов природы, универсальный характер которого был предположен Эйнштейном, этот учёный предпринял "поход за святым Граалем" - теорией гравитации, которая бы была совместима с ним. Результатом этого поиска явилась общая теория относительности.

Неевклидова геометрия

Геометрическое описание этой физической теории, найденное Эйнштейном, имеет своим истоком разработки в области неевклидовой геометрии, которые в течение многих веков предпринимались в связи с различными попытками доказать пятый постулат Евклида, утверждающий, что через точку нельзя провести более чем одну прямую, параллельную данной.

Эти усилия увенчались в XIX веке осуществлением математиками Лобачевским, Больяи, Гауссом и Риманом построения непротиворечивой неевклидовой геометрии, так что было доказано, что этот постулат может быть заменён различными другими (можно провести несколько параллельных прямых, или вообще ни одной), и таким образом, фактически, он представляет собой аксиому, а не теорему. Никакая из полученных геометрий не была "настоящей" больше, чем другие: речь шла просто о различных концептуальных системах, используемых для различных случаев. Поверхность сферы, например, может равноправно рассматриваться как поверхность евклидова трёхмерного тела в 3 измерениях или как частный случай неевклидова пространства в двух измерениях, причём второе представление в некоторых случаях может оказаться удобнее.

Чтобы проиллюстрировать мир неевклидовой геометрии, предположим, что физик держит линейку на некотором расстоянии от картографа, который измеряет её длину способом триангуляции, основанным на эвклидовой геометрии. Тогда ничто не гарантирует, что картограф получит тот же результат, если физик принесёт ему линейку, а картограф её измерит непосредственно. ^{[~ 1]}

Обобщение этих результатов было осуществлено Бернхардом Риманом, учеником Гаусса, и называется "римановой геометрией", но оно считалось простым математическим курьёзом до тех пор, пока Эйнштейн не использовал работы профессора Германа Минковского (который применял комплексные числа, чтобы перевести неевклидово пространство специальной теории относительности в хорошо изученное в аналитической геометрии евклидово пространство, и в 1907 году выразил в этом формализме преобразования Лоренца!) чтобы развивать "общую теорию относительности".

Специальная теория относительности (1905) изменила уравнения, используемые для сравнения измерений длины и времени, сделанных в различных системах отсчета, движущихся по отношению друг к другу. Следствием этого стало то, что физика не могла больше рассматривать время и пространство отдельно, но только вместе - как пространство (правильнее - многообразие) с четырьмя измерениями, "пространство-время". Действительно, при движениях со скоростями, сравнимыми со скоростью света в вакууме c, временные и пространственные координаты оказываются взамосвязанными, почти как две координаты точки на плоскости в аналитической геометрии которые изменяются согласованно при вращении координатных осей. Необходимо отметить, что в отличие от евклидова пространства, которое имеет сигнатуру (+, +, +, +) (квадраты длин во всех направлениях положительны), квадраты длин (или, как их принято называть, интервалов) во временных направлениях (внутри так называемого светового конуса) пространства-времени Минковского отрицательны, то есть его сигнатура - (-, +, +, +). Речь идёт не о математической уловке, а о реальной необходимости, такая сигнатура позволяет естественно получить преобразования Лоренца. Пространство Минковского, являющееся тем не менее пространством нулевой кривизны, считается "псевдоевклидовым" пространством ^[1]. Показательный пример, иллюстрирующий особенную сигнатуру этого пространства, даёт луч света, все точки траектории которого расположены на нулевом расстоянии друг от друга, что находится в соответствии с результатом, согласно которому собственное время тела, перемещающегося со скоростью c, всегда равно нулю.

Общая теория относительности добавила к этой картине представление о том, что присутствие вещества может деформировать локально само пространство-время (а не просто траектории тел в нём) так, чтобы пути тел в нём стали геодезическими (интуитивно можно говорить о кривых экстремальной длины) и у пространства-времени были бы свойства кривизны в пространстве и во времени. Геодезические траектории, которыми следуют пробные тела (то есть тела, влияние которых на поле гравитации, в которое они помещены, пренебрежимо мало, например, один искусственный спутник вокруг Земли или один фотон, проходящий мимо Солнца, но не звёзды, быстро вращающиеся друг около друга в одной двойной звезде), таким образом, имеют очень важную практическую значимость для интуитивного понимания искривлённого пространства.

Проведённые 29 мая 1919 года сэром Артуром Эддингтоном в течение солнечного затмения измерения отклонения звезд от обычных положений, несмотря на некоторые погрешности, составили первое подтверждение теории.

Бесчисленные экспериментальные тесты общей теории относительности были осуществлены впоследствие и все полученные результаты соответствуют этой теории.

Как пример можно упомянуть опыт, проведённый Паундом и Ребкой в Гарвардском университете (1959), который позволил с помощью эффекта Мёссбауэра обнаружить изменение длины волны монохроматического источника из ядер кобальта при распространении излучения вертикально вниз и вверх на 22,5 м.

Другое следствие общей теории относительности: атомные часы, выведенные на орбиту вокруг Земли для системы определения положения GPS ("Global Positioning System"), требовали коррекции частоты на Земле для учёта обязательного их ускорения после выхода на орбиту из-за подъёма в гравитационном потенциале ^[2].

С приходом специальной теории относительности получил своё завершение принцип инвариантности Галилея, утверждающий, что законы физики - одни и те же во всех инерциальных системах отсчета (при равномерном и прямолинейном перенесении одной такой системы по отношению к другим). Однако при этом пришлось отказаться от принципа абсолютного времени, заменив его принципом универсальной скорости "c" и сочетанием времени и пространства в четырёхмерный континуум. Впоследствии общая теория относительности, сделав этот континуум "деформируемым" (см. ниже), распространила принцип Галилея дальше, обеспечивая идентичные уравнения физики во "всех" системах отсчёта, а не только в инерциальных.-->

В XIX веке шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл сформулировал совокупность уравнений - уравнения электромагнитного поля, которые предсказывали распространение электромагнитных волн со скоростью ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu \varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$ в среде с диэлектрической проницаемостью ${\displaystyle \varepsilon \varepsilon _{0}}$ и магнитной проницаемостью ${\displaystyle \mu \mu _{0}}$ . Эта скорость феноменально высока, в разреженной среде (например, воздухе) она практически совпадала со скоростью распространения света. Максвелл предположил, что свет является ничем иным, как электромагнитной волной.

В то время как корпускулярные теории света казались совместимыми с принципом относительности Галилея, теория Максвелла склоняла исследователей к существованию светоностного эфира, введённого Гюйгенсом. Измерить скорость Земли при её движении вокруг Солнца относительно к этой эластичной среде было целью интерферометрического эксперимента, проведённого Альбертом Майкельсоном и Эдвардом Морли. Их испытания показали, что очевидный до того времени эфирный ветер ничтожно мал (если вообще существует) вне зависимости от поры года. Предположение, что эфир полностью увлекается движущейся Землёй, противоречило другим оптическим экспериментам (для введения в предмет см. Ландсберг "Оптика") и было бы слишком серьёзным отказом от принципа относительности Галилея. С другой стороны, эфир представлял собой очень странную среду: одновременно неосязаемую и очень "жёсткую", так как волны в ней способны были распространяться с феноменальной скоростью. Надо было дождаться Эйнштейна (1905), чтобы радикально поставить под сомнение само понятие эфира, распространить принцип относительности Галилея дальше и предположив, что уравнения Максвелла повинуются этому принципу, вывести таким образом революционные следствия в знаменитой статье "К электродинамике движущихся тел". Это было началом специальной теории относительности.

• Инвариантность уравнений Максвелла незамедлительно влечёт за собой постоянство скорости света "c" во всех галилеевых системах отсчета.

• Понятие абсолютного времени должно исчезнуть. Две группы из двух пар часов, вполне неподвижных и синхронизированных в галилеевой системе отсчета, и двух пар часов, вполне неподвижных и синхронизированных в другой галилеевой системе отсчета, являются рассинхронизированными в отношении друг к другу; размер объектов при движении демонстрирует их сокращение; скорости складываются не аддитивно; электрическое поле оказывается магнитным и наоборот. Все эти преобразования систем координат континуума пространства-времени и электромагнитного поля формализованы в преобразованиях Лоренца (парадоксально выведенных Лоренцом и Генри Пуанкаре для защиты существования эфира).

• Записав наиболее простое выражение для кинетической энергии тела массы "m", соответствующее принципу относительности, Эйнштейн вывел энергию покоя ${\displaystyle E=mc^{2}}$ , смысл которой громко заявит о себе только около тридцати лет спустя, когда Лиза Мейтнер поймет происхождение энергии ядерного деления.

Системы отсчета

Центральная идея теории относительности, что не можем говорить о таких величинах, как скорость или ускорение, не выбрав прежде системы референции, "системы отсчёта", определённой в данной точке.Любое движение тогда может быть описано относительно этой системы отсчёта.Специальная теория относительности постулирует, что эта система отсчета может быть распространена бесконечно в пространстве и во времени.Она условно ограничивается случаем инерциальных систем отсчёта, то есть движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью и без изменения направления. (Условно - потому что в рамках СТО можно рассматривать любые системы отсчёта, в том числе и неинерциальные, см. Логунов Л. А. Лекции по теории относительности и гравитации: Современный анализ проблемы.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 272 с.)Общая теория относительности рассматривает как равноправные также и ускоренные системы отсчёта (по направлению некоторого вектора).В ней предполагается, что возможно абсолютно точно определить локальную инерциальную систему отсчёта лишь на бесконечно малый период времени и в бесконечно малой области пространства (таким же образом, как из-за кривизны поверхности земли невозможно на плоскости нарисовать карту без искажений).Поэтому законы Ньютона являются действительными только в локальной инерциальной системе отсчёта.В частности, траекторией свободных частиц, таких как фотон, в локальной инерциальной системе отсчёта является прямая линия.Как только эти линии распространены за пределы этой локальной системы отсчёта, они не кажутся больше прямыми, но известны под названием геодезических.Первый закон Ньютона должен быть заменён законом геодезического движения.

Траектория фотона, например, есть геодезическая нулевой длины: положительная часть квадрата этой длины (x ² + y² + z ²) равна по абсолютной величине и противоположна по знаку своей отрицательной части (-c²t²).

Давайте возвратимся к понятию инерциальной системы отсчёта. Мы отличаем инерциальные системы отсчёта, в которых тело, свободное от любого внешнего воздействия, сохраняет своё движение, и системы отсчёта неинерциальные, в которых свободное тело подвергается ускорению, происхождению которого лежит в ускорении самой системы отсчета - говорят, что в них на тело действуют силы инерции.Примером является центробежная сила, которую мы испытываем, когда машина, в которой мы едем, производит резкий поворот, в качестве другого примера назовём силу Кориолиса, проявляющуюся, в частности, в закручиваании циклонов и антициклонов на вращающейся Земле. Центробежная сила является мнимой (по отношению к инерциальным системам отсчёта) и представляет собой только проявление инертности тел (первого закона Ньютона).

Тензор энергии-импульса и кривизна пространства-времени

Математически говоря, Эйнштейн моделирует пространство-время псевдоримановым четырёхмерным многообразием, а его уравнения гравитационного поля соединяют кривизну многообразия в точке с тензором энергии-импульса в этой же точке - мерой плотности вещества и энергии (разумеется, вещество и энергия эквивалентны).

Это уравнение служит основой замечательной формулировки, которая гласит, что кривизна пространства определяет движение вещества, а вещество определяет кривизну пространства. Наилучший способ представлять себе геометрию пространства-времени состоит в том, чтобы представлять, как будет вести себя эластичная площадка, возмущённая локально присутствием массивного предмета, например, шара. Далее мы часто будем говорить просто о пространстве, имея в виду пространство-время.

Наиболее коротким путём между двумя точками - то, что является определением "прямой линии" - не будет тогда тот же, что в отсутствие деформации: если траектория проходит чересчур близко от шара, действительно, её длина будет "растянута" при прохождении искривлённой части листа резины. Давайте отметим, что мы не должны принимать в расчёт в этой аналогии ни времени, ни тяжести, что естественно, так как именно их мы желаем описать в результате.

Перемещая нашу картину в физическое пространство, получим, что присутствие массивного тела вызовет искривление пространства - то, что покажется снаружи, издалека искривлением бега луча света или тела при движении около массивного тела. Вспомним ещё одно выражение, обязанное своим происхорждением Джону Арчибальду Уилеру: "Масса и энергия говорят пространству-времени, как сгибаться, а кривизна пространства-времени говорит веществу, как вести себя".

Следствием такого поведения света около тяготеющих масс является известный в астрономии результат - гравитационный мираж (иногда неправильно называемый "гравитационной линзой", так как он не имеет свойств ни собирательной линзы - что видно незамедлительно, если прочертить более четырёх лучей! - ни рассеивающей линзы ). Это понятие "кривизны пространства" объясняет кривизну лучей света в окрестностях массивной звезды, которая не могла быть обязана закону всемирного притяжения Ньютон, так как у фотонов нет массы.

Уравнения поля Эйнштейна не являются единственным допустимым решением в рамках существующей физической парадигмы, и имеется место для других моделей, если они соответствуют наблюдениям.

Общая относительность отличается от других существующих теорий простотой связи между веществом и геометрической кривизной, но остается осуществить унификацию общей теории относительности и квантовой механикой, и заменить уравнения гравитационного поля более общим квантовым законом.

Лишь немногие физики сомневаются в том, что такая Теория Всего дала бы вывод уравнений общей теории относительности в некоторых границах применения, так же, как эта последняя позволяет предсказать законы гравитации Ньютона в пределах малых нерелятивистских скоростей.

Уравнения поля содержат "дополнительный" параметр, называемый "космологической постоянной " ${\displaystyle \Lambda }$ , который был введён вначале Эйнштейном, чтобы его статическая Вселенная (то есть мир, в котором нет ни расширения, ни сжатия Вселеннной) был решением его уравнений.

Эта попытка окончилась провалом по двум причинам: статический мир, описанный этой теорией, был неустойчив (как показал де Ситтер), а наблюдения астронома Эдвина Хаббла десятью годами позже доказали, что Вселенная фактически расширяется. Таким образом ${\displaystyle \Lambda }$ было исключено из уравнений Эйнштейна, но недавно астрономические наблюдения показали, что ненулевая постоянная ${\displaystyle \Lambda }$ необходима, чтобы объяснять некоторые космологические результаты.

Применением решений уравнений Эйнштейна (см. следующий параграф) ко всей Вселенной занимается наука на стыке физики и астрономии, называемая космологией.Именно общая теория относительности позволяет объяснить аномальный сдвиг перигелия Меркурия, предсказать существование чёрных дыр, гравитационных волн и изучать различные сценарии эволюции Вселенной. Отметим, что хорошо известный астрофизик Стивен Хокинг доказал, что наша Вселенная с необходимостью включает в себя гравитационные сингулярности.

Совсем недавно (октябрь 2004) измерения, осуществленные лазерами со спутников LAGEOS показали, что гравитационное поле Земли само порождает смещения положения Луны примерно на 2 метра в год по сравнению с тем, что было бы предусмотрено только законами Ньютона. Эта цифра с точнорстью 1% соответствует тому, что предсказывает общая теория относиетльности.

Моделирование пространства-времени

Наше интуитивное восприятие указывает нам, что пространство-время является регулярным и "непрерывным", то есть «без дыр». Математически эти свойства обозначают, что пространство-время будет моделироваться гладким дифференцируемым многообразием. ^[3] 4 измерений ${\displaystyle M_{4}}$ , то есть пространство размерности 4, для которого окрестность каждой точки походит локально на четырёхмерное евклидово пространство.

Геометрия пространства-времени

Метрический тензор

Дифференцируемое многообразие ^[5] "M" снабжённое одним лоренцовым метрическим тензором g, и представляет собой таким образом Лоренцово многообразие, которое составляет частный случай псевдориманова многообразия (определение "лоренцов" будет уточнено дальше в тексте; см. Лоренцова метрика).

Давайте возьмем какую-нибудь систему координат ${\displaystyle x^{\mu }}$ около точки ${\displaystyle P}$ , и пусть ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\mu }(x)}$ - локальный базис ${\displaystyle T_{x}M}$ в касательном пространстве к многообразию ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle x\in M}$ . Касательный вектор ${\displaystyle \mathbf {w} \in T_{x}M}$ запишется тогда как линейная комбинация базисных векторов:

${\displaystyle \mathbf {w} \ =\ w^{\mu }\ \mathbf {e} _{\mu }.}$

При этом ${\displaystyle w^{\mu }}$ называются "контравариантными" компонентами вектора w. Метрический тензор ${\displaystyle \mathbf {g} }$ тогда - симметричная билинейная форма:

${\displaystyle \mathbf {g} \ =\ g_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ \otimes \ dx^{\nu },}$

где ${\displaystyle dx^{\mu }}$ обозначают "дуальный базис" ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\mu }(x)}$ в кокасательном пространстве ${\displaystyle T_{x}^{*}M}$ , то есть такие линейные формы на ${\displaystyle T_{x}M}$ , что:

${\displaystyle dx^{\nu }({\mathbf {e} }_{mu})\ =\ \delta _{\mu }^{\nu }.}$

Компоненты ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$ метрического тензора меняются в пространстве-времени непрерывно^[6].

Метрический тензор, таким образом, может быть представлен действительной симметричной матрицей 4x4:

${\displaystyle g_{\mu \nu }\ =\ g_{\nu \mu }.}$

Вообще любая действительная матрица 4x4 имеет априори 4 x 4 = 16 независимых элементов. Условие симметрии уменьшает это число до 10: на самом деле, остаётся 4 диагональных элемента, к которым надо добавить (16 - 4)/2 = 6 не-диагональных элементов. Тензор ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ обладает, таким образом, только 10 независимыми компонентами.

Скалярное произведение

Метрический тензор определяет для каждой точки ${\displaystyle x\in M}$ многообразия псевдо-скалярное произведение ("псевдо-" в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора); см. Лоренцева метрика) в касательном к "M" в точке ${\displaystyle x}$ псевдоэвклидовом пространстве ${\displaystyle T_{x}M}$ . Если ${\displaystyle \mathbf {u} }$ и ${\displaystyle \mathbf {v} }$ - два вектора ${\displaystyle T_{x}M}$ , их скалярное произведение запишется как:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \ =\ \mathbf {g} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\ =\ g_{\mu \nu }\ u^{\mu }\ v^{\nu }}$

В частности, беря два базовых вектора, получаем компоненты:

${\displaystyle g_{\mu \nu }\ =\ \mathbf {g} ({\mathbf {e} }_{\mu },{\mathbf {e} }_{\nu })\ =\ {\mathbf {e} }_{\mu }\cdot {\mathbf {e} }_{\nu }}$

Замечание: если ${\displaystyle w^{\mu }}$ обозначают контравариантные компоненты вектора w, то мы можем определить также его ковариантные компоненты как:

${\displaystyle w_{\mu }\ =\ \mathbf {w} \ \cdot \mathbf {e} _{\mu }.}$

Элементарное расстояние - интервал

Рассмотрим вектор элементарного перемещения ${\displaystyle d\mathbf {P} \ =\ \epsilon ^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }}$ между точкой "P" и бесконечно близкой точкой: ${\displaystyle |\epsilon ^{\mu }|\ll 1}$ . Инвариантной инфинитезимальной нормой этого вектора будет действительное число, обозначаемое ${\displaystyle ds^{2}}$ , наываемое квадратом интервала, и равное:

${\displaystyle ds^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ \epsilon ^{\mu }\ \epsilon ^{\nu }}$ .

Если обозначить компоненты вектора элементарного перемещения «по-физически» ${\displaystyle \epsilon ^{\mu }=dx^{\mu }}$ , инфинитезимальный квадрат длины (интервала) запишется формально как:

${\displaystyle ds^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ dx^{\nu }}$

Внимание: в этой формуле ${\displaystyle dx^{\mu }}$ представляет собой действительное число, которое интерпретируется физически как "инфинитезимальное изменение" координаты ${\displaystyle x^{\mu }}$ , а не как дифференциальная форма!

Лоренцева метрика

Давайте уточним теперь выражение "Лоренцов", которое означает, что метрический тензор имеет сигнатуру (1,3). Принцип эквивалентности обеспечивает нам уверенность, что можем "стереть" локально поле гравитации, выбирая локально инерциальную систему координат. С математической точки зрения такой выбор является переформулировкой известной теоремы о возможности приведения квадратичной формы к главным осям.

В такой локально инерциальной системе координат ${\displaystyle X^{\alpha }}$ вокруг точки ${\displaystyle P}$ , инвариант ${\displaystyle ds^{2}}$ запишется как:

${\displaystyle ds^{2}\ =\ (\eta _{\alpha \beta }+\delta _{\alpha \beta })\ dX^{\alpha }\ dX^{\beta }\ =\ -\ c^{2}\,dT^{2}\,+\,dX^{2}\,+\,dY^{2}\,+\,dZ^{2},}$

где ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$ является метрикой плоского пространства-времени Минковского, а ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$ имеет второй порядок малости по координатам ${\displaystyle X^{\alpha }}$ . Принимая здесь соглашение знаков MTW ^[4]:

${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }\ =\ \mathrm {diag} \ (-,\,+,\,+,\,+\,)}$

Мы используем здесь следующие обычные соглашения:

• греческие индексы меняются от 0 до 3. Они соответствуют величинам в пространстве-времени.
• латинские индексы меняются от 1 до 3. Они соответствуют пространственным составляющим величин в пространстве-времени.

Например, 4-вектор положения запишется в локально инерциальной системе координат как:

${\displaystyle X^{\alpha }\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{i}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{1}\\X^{2}\\X^{3}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}c\,T\\X\\Y\\Z\end{matrix}}\right)}$

Лоренцов характер многообразия "M" обеспечивает, таким образом, то, что касательные к "M" в каждой точке псевдоевклидовы пространства будут обладать псевдоскалярными произведениями ("псевдо" в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора)) с тремя строго положительными собственными значениями (соответствующими пространству) и одним строго отрицательным собственным значением (соответствующем времени). В частности, элементарный интервал "собственного времени", отделяющий два последовательных события, всегда:

${\displaystyle d\tau ^{2}\ =\ -{\frac {ds^{2}}{c^{2}}}\ >\ 0.}$

Общие понятия аффинной связности и ковариантной производной

Обобщенно, аффинной связностью называется оператор ${\displaystyle \nabla }$ , который приводит в соответствие векторному полю ${\displaystyle \mathbf {V} }$ из касательного пучка ${\displaystyle TM}$ поле эндоморфизмов ${\displaystyle \nabla \mathbf {V} }$ этого пучка. Если ${\displaystyle {\mathbf {w} }\in T_{x}M}$ - касательный вектор в точке ${\displaystyle x\in M}$ , обычно обозначают

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }\ \mathbf {V} (x)\ =\ \nabla \mathbf {V} (x,\mathbf {w} ).}$

Говорят, что ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} }$ является "ковариантной производной " вектора ${\displaystyle \mathbf {V} }$ в направлении ${\displaystyle {\mathbf {w} }}$ . Предположим к тому же, чтобы ${\displaystyle \nabla \mathbf {V} }$ удовлетворяло дополнительному условию: для любой функции "f" справедливо следующее:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ df(\mathbf {w} )\ \mathbf {V} }$

Ковариантная производная удовлетворяет следующим двум свойствам линейности:

• линейность по "w", то есть, какими бы ни были поля векторов " w " и "u" и действительные числа "a" и "b", мы имеем:

${\displaystyle \nabla _{(a\mathbf {w} +b\mathbf {u} )}\mathbf {V} \ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ b\ \nabla _{\mathbf {u} }\mathbf {V} .}$

• линейность по "V", то есть, какими бы ни были поля векторов " X" и действительные числа "a" и "b", мы имеем:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(a\mathbf {X} +b\mathbf {Y} )\ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {X} \ +b\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {Y} .}$

Как только ковариантная производная определена для полей векторов, она может быть распространена на тензорные поля с использованием правила Лейбница: если ${\displaystyle \mathbf {T} }$ и ${\displaystyle \mathbf {S} }$ - два любых тензора, то по определению:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(\mathbf {T} \otimes \mathbf {S} )\ =\ (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {T} )\otimes \mathbf {S} \ +\ \mathbf {T} \otimes (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {S} )}$

Ковариантная производная поля тензора вдоль вектора w есть снова поле тензора того же типа.

Связность, ассоциированная с метрикой

Можно доказать, что связность, ассоциированная с метрикой - связность Леви-Чивита [1], является единственной связностью, помимо предыдущих условий дополнительно обеспечивающей то, что для любых полей векторов "X, Y, Z" из "TM":

• ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }(\mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ))\ =\ \mathbf {g} (\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} )\ +\ \mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )}$ (метричность - тензор неметричности равен нулю).

• ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} \ -\ \nabla _{\mathbf {Y} }\mathbf {X} \ =\ [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$ , где ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$ - коммутатор Ли от X и Y (отсутствие кручения - тензор кручения равен нулю).

Описание в координатах

Ковариантная производная вектора есть "вектор", и, таким образом, она может быть выражена как линейная комбинация всех базисных векторов:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }V\ =\ \left[\,\nabla _{\mathbf {w} }V\,\right]^{\rho }\ \mathbf {e} _{\rho }\ =\ \Gamma ^{\rho }\ \mathbf {e} _{\rho },}$

где ${\displaystyle \Gamma ^{\rho }}$ представляют собой компоненты вектора ковариантной производной в направлении ${\displaystyle \mathbf {e} _{\rho }}$ (эта составляющая зависит от выбранного вектора w)

Чтобы описать ковариантную производную, достаточно описать её для каждого из базисных векторов ${\displaystyle \mathbf {e} _{\nu }}$ вдоль направления ${\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }}$ . Определим тогда символы Кристоффеля (или просто кристоффели) ${\displaystyle \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu },}$ зависящие от 3 индексов ^[7]

${\displaystyle \nabla _{\mu }{\mathbf {e} }_{\nu }\ =\ \nabla _{{\mathbf {e} }_{\mu }}{\mathbf {e} }_{\nu }\ =\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ {\mathbf {e} }_{\rho }}$

Связность Леви-Чивита полностью характеризуется своими символами Кристоффеля. Согласно общей формуле

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ df(\mathbf {w} )\ \mathbf {V} }$

для вектора V:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ \nabla _{\mu }(V^{\nu }\mathbf {e} _{\nu })\ =\ V^{\nu }\ (\nabla _{\mu }\mathbf {e} _{\nu })\ +\ dV^{\nu }(\mathbf {e} _{\mu })\ \mathbf {e} _{\nu }.}$

Зная, что ${\displaystyle dV\nu (\mathbf {e} _{\mu })=\partial _{\mu }V^{\nu }}$ , получаем:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ V^{\nu }\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ {\mathbf {e} }_{\rho }\ +\ \partial _{\mu }V^{\nu }\ \mathbf {e} _{\nu }}$

Первый член этой формулы описывает "деформацию" системы координат по отношению к ковариантной производной, а второй - изменения координат вектора V. При суммировании по немым индексам мы можем переписать это соотношение в форме

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ \left[\,V^{\rho }\ \Gamma ^{\nu }{}_{\mu \rho }\ +\ \partial _{\mu }V^{\nu }\,\right]\ \mathbf {e} _{\nu }}$

Из этого получаем важную формулу для компонент:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} ^{\nu }\ =\ \left[\,\nabla _{\mu }\mathbf {V} \,\right]^{\nu }\ =\ \partial _{\mu }V^{\nu }\ +\ \Gamma _{~\mu \rho }^{\nu }\ V^{\rho }}$

Используя формулу Лейбница, таким же образом можно продемонстрировать, что:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} _{\nu }\ =\ \partial _{\mu }V_{\nu }\ -\ \Gamma _{~\mu \nu }^{\rho }\ V_{\rho }.}$

Чтобы вычислить эти составляющие в явной форме, выражения для символов Кристоффеля должны быть определены, исходя из метрики. Их легко получить, написав следующие условия:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\ \mathbf {g} _{\nu \rho }\ =\ 0.}$

Расчёт этой ковариантной производной приводит к:

${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\ g^{\mu \nu }\ \left(\partial _{\sigma }g_{\nu \rho }\ +\ \partial _{\rho }g_{\nu \sigma }\ -\ \partial _{\nu }g_{\rho \sigma }\right),}$

где ${\displaystyle g^{\mu \nu }\ }$ - компоненты "обратного" метрического тензора, определенные уравнениями:

${\displaystyle g^{\mu \nu }\ g_{\nu \rho }\ =\ \delta ^{\mu }{}_{\rho }}$

Символы Кристоффеля "симметричны" по отношению к нижним индексам: ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }=\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \rho }.\ }$

Замечание: иногда определяются также следующие символы:

${\displaystyle \Gamma _{\nu \rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\ \left(\partial _{\sigma }g_{\nu \rho }\ +\ \partial _{\rho }g_{\nu \sigma }\ -\ \partial _{\nu }g_{\rho \sigma }\right)}$

получаемые как:

${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }\ =\ g^{\mu \nu }\ \Gamma _{\nu \rho \sigma }}$

Тензор кривизны Римана

Тензор кривизны Римана R - тензор 4-ой валентности, определёный для любых векторных полей X, Y, Z из M как

${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mathbf {Z} \ =\ \nabla _{\mathbf {X} }\,(\nabla _{\mathbf {Y} }\mathbf {Z} )\ -\ \nabla _{\mathbf {Y} }\,(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )\ -\ \nabla _{[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}\mathbf {Z} }$

Его компоненты в явной форме выражаются из метрических коэффициентов:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\left(\partial _{\nu \rho }^{2}g_{\mu \sigma }\ +\ \partial _{\mu \sigma }^{2}g_{\nu \rho }\ -\ \partial _{\nu \sigma }^{2}g_{\mu \rho }\ -\ \partial _{\mu \rho }^{2}g_{\nu \sigma }\right)\ +\ g_{\lambda \tau }\left(\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \rho }\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \sigma }\ -\ \Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \rho }\right)}$

Симметрии этого тензора:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ R_{\rho \sigma \mu \nu }\ }$

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ -\ R_{\nu \mu \rho \sigma }\ =\ -\ R_{\mu \nu \sigma \rho }}$

Он удовлетворяет также следующему соотношению:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ +\ R_{\mu \sigma \nu \rho }\ +\ R_{\mu \rho \sigma \nu }\ =\ 0.}$

Тензор кривизны Риччи

Тензор Риччи - тензор валентности 2, определенный "свёрткой" тензора кривизны Римана

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ g^{\rho \sigma }\ R_{\rho \mu \sigma \nu }\ =\ R_{~\mu \sigma \nu }^{\sigma }}$

Его компоненты в явном виде через метрический тензор:

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ \partial _{\rho }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ -\ \partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \rho }\ +\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\rho \sigma }\ -\ \Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \rho }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }}$

Этот тензор "симметричен": ${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ R_{\nu \mu }\ }$ .

Скалярная кривизна

Скалярная кривизна является инвариантом, определяемым свёрткой тензора Риччи с метрикой

${\displaystyle R\ =\ g^{\mu \nu }\ R_{\mu \nu }\ =\ R_{~\nu }^{\nu }}$

Уравнения Эйнштейна

Уравнения гравитационного поля, которое называются уравнениями Эйнштейна, записываются так

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R\ -\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T_{\mu \nu },}$

где ${\displaystyle \Lambda }$ - космологическая константа, ${\displaystyle c}$ - скорость света в пустоте, ${\displaystyle G}$ - гравитационная постоянная, которая появляется также в законе всемирного тяготения Ньютона, а ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ - тензор энергии-импульса.

Симметричный тензор ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ имеет только 10 независимых составляющих, тензорное уравнение Эйнштейна эквивалентно системе 10 независимых скалярных уравнений. Эта система 10 связанных нелинейных уравнений в частных производных в большинстве случаев "очень трудна" для изучения.

Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной "симметричной" матрицы 4x4:

${\displaystyle T_{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right).}$

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T₀₀ - объёмная плотность энергии. Она должна быть положительной.
• T₁₀, T₂₀, T₃₀ - плотности компонент импульса.
• T₀₁, T₀₂, T₀₃ - компоненты потока энергии.
• Под-матрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент:

${\displaystyle T_{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)}$

- матрица потоков импульсов. В механике жидкости диагональные компоненты соответствуют "давлению", а прочие составляющие - тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии - натяжениям), вызванным "вязкостью.

Для жидкого тела "в покое", тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице "diag (ρc^2, p, p, p)", где "ρ" есть плотность массы, а p - гидростатическое давление.

• Метрика Шварцшильда

В пустоте при космологической константе, равной нулю, уравнения Эйнштейна сводятся к:

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ 0.}$

В особом случае центрально-симметричного поля, порожденного телом сферической симметрии, метрика Шварцшильда (16 января 1916) предоставляет точное решение этого уравнения (которое действительно только снаружи тела - внешнее решение).

${\displaystyle ds^{2}\ =\ -\ \left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}\ +\ {\frac {dr^{2}}{1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}\ +\ r^{2}\ d\Omega ^{2}}$

где M - общая масса тела, а ${\displaystyle d\Omega ^{2}}$ - квадрат элементарного расстояния на евклидовой сфере единичного радиуса в сферических координатах:

${\displaystyle d\Omega ^{2}\ =d\theta ^{2}\ +\ \sin ^{2}\theta \ d\varphi ^{2}.}$

• Метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уолкера - метрика локально однородной и изотропной Вселенной.

• Пространство де Ситтера - соответствует пустой Вселенной с положительной космологической постоянной.

• Пространство анти-де Ситтера - соответствует пустой Вселенной с отрицательной космологической постоянной.

Проблема двух тел и проблема движения

В общей теории относительности, точное решение проблемы двух тел пока не известно; пока решаема только «проблема одного тела». Между тем, можно найти общее приближенное решение для того, что называется иногда «проблемой движения».

Эйнштейн и проблема движения (1915)

В своей работе конца 1915 года Эйнштейн начинает с того, что рассчитывает сферически-симметричное гравитационное поле, создаваемое звездой массы ${\displaystyle M}$ вдали от центра звезды, когда поле "слабо". Затем Эйнштейн исследует проблему движения «тестовой частицы» (пробного тела) массы ${\displaystyle m\ll M}$ в этом слабом поле. Пробное тело выбирается таким образом, чтобы не изменять поля гравитации, создаваемого массивной звездой.

Принцип эквивалентности заставил Эйнштейна к тому же "потребовать" таких уравнений движения частицы, решения которых были бы "геодезическими линиями" пространства-времени. Математически геодезические представляют собой экстремумы псевдо-расстояния (интервала):

${\displaystyle \delta \ \int ds\ \ =\ 0.}$

В локально инерциальной системе координат ${\displaystyle X^{\alpha }}$ эти уравнения движения записываются в компонентах как:

${\displaystyle {\frac {d^{2}X^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}\ =\ 0,}$

где ${\displaystyle \tau }$ - "собственное время" пробного тела (предполагаемого массивным). В произвольной системе координат ${\displaystyle x^{\mu }}$ эти уравнения движения получают следующую форму:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}\ +\ \Gamma _{~\rho \sigma }^{\mu }\ {\frac {dx^{\rho }}{d\tau }}\ {\frac {dx^{\sigma }}{d\tau }}\ =\ 0.}$

Решения этих уравнений определяют "времениподобные геодезические" пространства-времени.

Эйнштейн и проблема движения (1938)

В работе 1938 года, написанной в сотрудничестве с Инфельдом и Хоффманом, Эйнштейн ^[8] показал, что уравнения движения пробного тела

${\displaystyle \delta \int ds\ \ =\ 0}$

"выводятся" из уравнений поля - уравнений Эйнштейна. Таким образом, их можно не вводить дополнительным постулатом, а вывести из самой общей теории относительности.Аналогичное утверждение верно также для скалярного поля и (с некоторыми оговорками) для электромагнитного поля, рассматриваемых совместно с гравитационным.

• Дифференциальная геометрия
• Неевклидова геометрия
• Кривизна
• Стереометрия
• Специальная теория относительности
• Релятивистские теории
• Пост-ньютоновское разложение
• Экспериментальные тесты общей теории относительности
• Действие Эйнштейна-Гильберта
• Чёрная дыра

Он-лайн курсы

• Лоран Болиу; "Introduction à la relativité générale" - вводный курс по ОТО, читаемый в Политехнической Школе исследователем Лаборатории Теоретической Физики Высоких Энергий университета Париж 6, специалистом по теории квантованных полей. (Файл PostScript - 53 страницы.)

• Люк Бланше; "Introduction à la relativité générale (I)" - вводный курс по ОТО, читавшийся в университете Gif-sur-Yvette в 2000 исследователем Парижского Института астрофизики (Медон), специалистом по теории Эйнштейна. (15 слайдов в jpeg формате).

• Люк Бланше; "Introduction à la relativité générale (II)" -продолжение предшествующего курса. (75 слайдов в jpeg формате).

• Руфь Деррер; "Relativité générale" - углубленный курс, читавшийся студентам второго курса университета Женевы (Швейцарца) профессором Кафедры Теоретическоой Физики. (Файл Postscript - 159 страниц).

• Джерард т'Хуфт; "Introduction to general relativity" - вводный курс по ОТО, читавшийся в Колледже Капу (Caput) в 1998 лауреатом Нобелевской премии 1999, исследователем Института Теоретической Физики Утрехтскоого Университета (Нидерланды) (Файл Postscript - 68 страниц).

• Шон М. Карролл; "Lecture notes on general relativity" - углубленный курс, читавшийся в 1997 году членом Института Теоретической Физики Калифорнийского Университета в Санта Барбаре (США) (Файлы Postscript и pdf - 238 страниц)

• Теодор А. Джекобсон; "A spacetime primer", конспекты курса профессора физического факультета Университета Мэриленда (США) (Файл Postscript - 42 страницы).

Дополнительные источники

• "Living Reviews in Relativity": он-лайн обзоры, опубликованные на сайте, принадлежащем Гравитационному Институту Макса Планка (Потсдам (ФРГ)), регулярно обновляются их авторами, видными специалистами из соответствующих областей.

• Джон С. Баез и Эмори Ф. Банн; " The meaning of Einstein's equations ", American Journal of Physics 73 (2005), 644-652. - замечательная педагогическая статья, написанная в 2001 году членами математического факультета Калифорнийского Университета в Риверсайде (США). Дана простая геометрическая интерпретация уравнений поля Эйнштейна. Более полная версия доступна на ArXiv: "gr-qc / 0103044".

• Ли С. Лавридж; "Physical и geometric interpretations of the Riemann tensor, Ricci tensor и scalar curvature" - замечательная педагогическая статья 2004 года. (18 страниц)

• Клиффорд М. Уилл; "Was Einstein Right? Testing Relativity at the Centenary", обзорная статья 2005 года, написанная американским специалистом по экспериментальным тестам теории относительности. (21 страница.) Опубликована в: "100 Years of Relativity: Spacetime Structure - Einstein and Beyond ", ред. Abhay Ashtekar (World Scientific, Singapore).

• Р. Арновитт, Стэнли Дезер и Чарльз В. Мизнер; "The dynamics of general relativity" - классическая статья, написанная в 1962 году, посвящённая канонической гамильтоновой формулировке общей теории относительности, известной сейчас под назвавнием "АДМ-формулировки". (30 страниц.)

• Роберт Бартник и Джим Айзенберг; "The constraint equations" - обзорная статья 2004 года по проблеме Коши в общей теории относительности. Опубликована в: P.T.Chrusciel and H. Friedrich (eds.) ; 50 Years of the Cauchy Problem, in honour of Yvonne Choquet-Bruhat, proceedings of the 2002 Cargese meeting (34 страницы.)

• Жоэль М. Вейсберг и Жозеф Х. Тэйлор; "Relativistic binary puslar B1913+16: thirty years of observations & analysis - статья (2004), суммирующая результаты измерений, касающихся на бинарного пульсара, обнаруженного в 1974 году Расселом Халсом и Жозефом Тэйлором, отмеченным Нобелевской премией 1993 года. (7 страниц.)

• Томас Б. Бадер; "Clock synchronisation & navigation in the vincinity of the Earth" - обзорная статья (2004) по проблеме "синхронизации часов" в общей теории относительности, с приложениями к системе GPS. (49 страниц.)

• Норберт Страуманн; "The history of the cosmological constant problem - обзорная статья (2002) о космологической константе, написанная членом Отдела Теоретической Физики университета Цюриха (Швейцария). (12 страниц.)

• Норберт Страуманн; "On the Cosmological Constant Problems and the Astronomical Evidence for a Homogeneous Energy Density with Negative Pressure" - обзорная статья (2002) о космологической константе и об энергии вакуума, написанная для первого семинара Пуанкаре. (51 страница.)

• Норберт Страуманн; "Dark Energy" - обзорная статья (2004) об энергии вакуума. (16 страниц.)

• И. Вербин и Н.К. Нильсен; "On the origin of Kaluza's idea of unification" - краткая статья (2004) о происхождении теории Калуцы-Клейна. Опубликована в: General Relativity and Gravitation 37 (2005) 427-433 (5 страниц.)

• Джейкоб Д. Бекенштейн; "Black holes: physics & astrophysics" - обширная статья о чёрных дырах, написанная специалистом в 2004 году. Соответствует содержанию курса, данного в Институте углублённых исследований НАТО "Нейтрино и взрывы во Вселенной", Эрик (2-13 июля 2004) (26 страниц.)

• Е. Г. Адельбергер, Б. Р. Хекель, А. Э. Нельсон; "Tests of the Gravitational Inverse-Square Law" - обзор, написанный членами университета Вашингтона, Сиэтл (США), опубликованный в: " Annual Review of Nuclear and Particle Science " 53 (2003) 77-121.

Разное

• {{{1}}} общая Относительность: как пространство-время стало динамичным, Futura-Sciences
• {{{1}}} приключения Анселма Лантюрлю " géométricon " и " Все относящееся ", bandes нарисованные Жан-Пьер Пети, éd. Belin,
• {{{1}}} Популярная статья

Популярные издания

• Albert Einstein ; La relativité, Gauthier-Villars (1956). Переиздано Payot (1990) ISBN 2228882542. Не выходящее из моды элементарное изложение принципов специальной и общей теории относительности её автором в карманном формате.

• Banesh Hoffmann ; Histoire d'une grande idée : la relativité, Éditions Pour La Science (1985), diffusion Belin ISBN 0-9029-1844-5. Замечательное по своей ясности и простоте излождение теории относительности бывшим сотрудником Эйнштейна в Принстонском Institute for Advanced Studies.

• Thibault Damour ; Si Einstein m'était conté, Editions du Cherche-midi, Paris (2005) ISBN 2-74910-390-8. Известный французский специалист по теории относительности представляет наконец "своего" Эйнштейна без уравнений. Тибо Дамур - постоянный профессор в Научном Институте высшего образования (IHES) в Bures-sur-Yvette; он долго преподавал общую теорию относительности в DEA.

• Clifford M. Will ; Les enfants d'Einstein - La relativité générale à l'épreuve de l'observation, InterEditions (Paris-1988), ISBN 2-7296-0228-3. Некоторые экспериментальные результаты - иногда совсем недавние - которые подтверждают теорию Эйнштейна, изложенные экспертом.

• Albert Einstein & Leopold Infeld ; L'évolution des idées en physique, Collection Champs, Flammarion (1993) ISBN 2080811193. История физики от механики Ньютона до современных теорий (относительность и кванты), написанная в 1936 самим Мэтром и одним из его учеников в Принстоне, чтобы финансировать пребывание этого последнего. В карманном формате.

• Jean-Pierre Luminet ; Les trous noirs, Collection Points-Sciences, Le Seuil (1992), ISBN 2020159481. Труд французского эксперта Обсерватории Медон, работающего над данной темой. Читателю излагается гипотеза о возможности путешествий во времени посредством червоточин пространства-времени. В карманном формате.

• Kip S. Thorne ; Trous noirs & distorsions du temps - L'héritage sulfureux d'Einstein, Nouvelle Bibliothèque Scientifique, Flammarion (1997). Переиздано в коллекции Champs (2001), ISBN 208081463X. Книга, главным образом посвященная черным дырам, написанная специалистом, профессором Теоретической Физики в Калифорнийского технологического института. Последняя глава представляет наиболее новые исследования (и спекуляции) автора о путешествиях во времени.

• Stephen Hawking ; Une brève histoire du temps - Du Big-Bang aux trous noirs, Flammarion (1989).Переиздано J'ai lu (2000), ISBN 2290307114. Книга приобщает читателя к современной космологии, она написана английским физиком-теоретиком Кембриджского Университета. Первая чавсть книги излагает классическую теорию Большого Взрыва. Вторая часть представляет более новые результаты автора, касающиеся квантовой космологии; более трудный для непрофессионала, эта часть также и намного более спекулятивна: подход Хокинга представляет собой лишь одну теорию среди многих и ещё не подтверждён опытом.

• Thibault Damour ; Le renouveau de la relativité générale, La Recherche 189 (Juin 1987) 766-776. Статья, которая в простой манере излагает теорию и её новое развитие (чёрные дыры, гравитационные волны, ...).

• John A. Wheeler ; A journey into gravity & space-time, Freeman & Co. (1999), ISBN 0-7167-6034-7. Общая теория относительности, популярно изложенная всемирно знаменитым экспертом.

• Robert Geroch ; General relativity - From A to B, the University of Chicago Press (1978), ISBN 0-226-28864-1. Нематематическое введение в общую теорию относительности, написанное на основе курса, данного не-специалистам, профессором математической физики Университета Чикаго.

• Bernard Schutz ; Gravity from the ground up - An introductory guide to gravity & general relativity, Cambridge University Press (2003), ISBN 0-521-45506-5. Великолепное введение в гравитационные явления.

• Herman Bondi: Relativity and Common Sense, Heinemann (1964), ISBN . Общедоступное введение, написанное известным специалистом.

Вводные курсы

Доступные на уровне первого курса.

• Dennis William Sciama ; The Physical Foundations of General Relativity, Doubleday (1969), ISBN 0385021992. Родившийся в 1926 году в Англии автор-астрофизик с конца 1950-ых годов был одним из самых больших специалистов-теоретиков по чёрным дырам. Он сыграл решающую роль, дав толчок исследованиям в этой области; именно у него в Кембриджском университете учились Стивен Хокинг и Мартин Рис. Существует также французский перевод этой превосходной книги: "Les bases physiques de la relativité générale", Dunod (1971), к сожалению, не переиздававшийся.

• E.F. Taylor & John A. Wheeler ; À la découverte de l'espace-temps, Dunod (1970). Этот оригинальный труд - элементарное, хотя и строгое, введение в специальную теорию относительности; Уилер - неоспоримый эксперт в этой области. Целевая аудитория - студенты первого курса, начинающие изучать физику; в частности, знание электромагнетизма не является необходимым. Эта книга - идеальное продолжение книги вышеупомянутого Banesh Hoffman, в ней много упражнений, из которых достаточно много с решениями. К несчастью, более не переизданный на французском языке, этот труд остается доступным на английском: Spacetime Physics, W.H. Freeman (2-nd edition - 1992), ISBN 0716723271.

• Jean-Marc Levy-Leblond ; Les relativités, Cahiers de Fontenay n 8, Ecole Normale Supérieure de Fontenay-aux-Roses (1977). Очень хорошие с педагогической точки зрения конспекты, увы, не опубликованные. Находятся в очень хорошей библиотеке университета.

• Thibault Damour & Stanley Deser ; Relativité, Encyclopeadia Universalis 19 (1995) 739-748. Не перегруженное технически ясное изложение, написанное специалистом мировой известности: Thibault Damour - постоянный профессор в Научном Институте высшего образования (IHES) в Bures-sur-Yvette; он также долго преподавал общую теорию относительности в DEA.

• Jean-Pierre Provost & Marie-Antoinette Tonnelat ; Espace-temps, Encyclopeadia Universalis 8 (1995) 743-745. Довольно простое введение или основные концепции относительности в четырех страницах.

• Max Born ; La théorie de la relativité d'Einstein et ses bases physiques, Gauthier-Villars (1923). Переиздано Jacques Gabay (2003) ISBN 2-87647-230-9. Этот труд, написанный известным немецким теоретиком, лауреатом Нобелевской премии 1954 года, значителен по своей ясности. Площадь, занятая математическими аспектами, в нём сильно сокращена.

• Wolfgang Rindler ; Relativity : special, general and cosmological, Oxford University Press (3-rd ed. - 2001), ISBN 0-19-850836-0. Блестящее введение во все аспекты относительности, изложенное преподавателем Университета Далласа (Техас), специалистом в своей области.

• Wolfgang Rindler ; Essential relativity : special, general and cosmological, Texts and Monographs in Physics, Springer-Verlag (2-nd ed. rev. - 1977), ISBN 3-540-10090-3. Предшествующее издание предыдущей книги, всегда интересное.

• George F.R. Ellis & Ruth M. Williams ; Flat & curved space-times, Oxford University Press (2-nd ed. - 2000), ISBN 0-19-850656-2. Другое превосходное введение в относительность, написанное экспертом, преподавателем Университета Кейптауна (Южная Африка) и его сотрудницей.

• Arthur S. Eddington ; Space, time & gravitation - An outline of the general relativity theory, Cambridge Science Classics Series, Cambridge University Press (1987), ISBN 0-521-33709-7. Переиздание классического труда, появившегося первоначально в 1920 году, написанного известным английским астрономом, который впервые проверил одно из теоретических предсказаний общей теории относительности: отклонение света массивным телом, наблюдавшееся в 1919 году в течение полного затмения Солнца. (Ранее выходил французский перевод этого труда.)

• James B. Hartle ; Gravity - An introduction to Einstein's general relativity, Addison-Wesley (2003), ISBN 0-8053-8662-9. Кип Торн написал об этой книге: «Наилучшее когда-либо написанное введение в общую теорию относительности»! Автор - профессор теоретической физики в университете Санта-Барбары.

• Edwin F. Taylor & John A. Wheeler ; Exploring black holes : introduction to general relativity, Benjammin/Cummings (2000), ISBN 0-201-38423-X. Для читателя, осведомлённого о принципах специальной теории относительности, Уилер и Тэйлор вводят идеи общей теории относительности, начиная с понятия черной дыры, используя возможный минимум математики: метрические измерения, алгебру, дифференциальное и интегральное исчисление (никакой дифференциальной геометрии, или тензоров).

• Marc Lachièze-Ray ; Initiation à la cosmologie, Masson (2ème édition-1996), ISBN 2-225-85208-1. От специалиста в данной теме, очень ясное и элементарное введение.

• Comittee on Gravitational Physics ; Gravitational Physics - Exploring the structure of space and time, National Academy Press (Washington, D.C.-1999), ISBN 0-309-06635-2. Официальный отчёт Комитета по гравитационной физике Американской академии наук, который объединяет нескольких настоящие специалисты в этой области. Этот маленький труд изображает с одной стороны достижения в гравитационных исследованиях, имевших место в течение последних десяти лет - в связи с астрофизикой, космологией и физикой частиц - а, с другой стороны, предлагает пути развития на будущее десятилетие. Превосходное обобщение - род искусства, без уравнений.

• Ray d’Inverno: Introducing Einstein’s Relativity, Oxford University (1993).

Техничные работы

• Lev Landau & Evguéni Lifschitz ; Physique Théorique - Tome 2 : Théorie des champs, Mir (4ème édition-1989), ISBN . Второй том знаменитого курса Ландау, советского теоретика, лауреата Нобелевской премии по физике 1962 года. Этот том начинается введением в специальную теорию относительности, продолжается теорией Максвелла электромагнитного поля, а в последней части - общей теорией относительности. Уровень изложения всегда остаётся высоким (второй курс): Ландау не имел для привычки детализировать промежуточные расчеты, часто заполнять дыры предосталяется самому читателю!

• Steven Weinberg ; Gravitation & Cosmolgy, John Wiley & Sons (New York-1972), ISBN 0-471-92567-5. Очень красивое справочное издание. Уровень - минимум второй курс.

• C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler ; Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0. Другое справочное издание, которое развивает современные геометрические аспекты с большой ясностью. Уровень - минимум второй курс.

• Robert M. Wald ; General relativity, The University of Chicago Press (1984), ISBN 0-226-87033-2. Более недавний курс, чем обе предыдущие "библии гравитации", эта книга вводит в теорию относительности в решительно современном ключе, который содержит также недавние достижения (теоремы о сингулярностях), включает некоторые квантовые результаты в гравитации (испарение чёрных дыр). Вводная часть этой книги доступна начиная со второго курса.

• Ignazio Ciufolini & John A. Wheeler ; Gravitation & Inertia, Princeton Series in Physics, Princeton University Press (1995), ISBN 0-691-03323-4. Труд, посвященный общей теории относительности, который начинается излжением классического введения в неё и продолжается исследованием более новых теоретических аспектов, принимая во внимание последние экспериментальные результаты. Уровень - минимум второй курс.

• Clifford M. Will ; Theory & Experiment in gravitational physics, Cambridge University Press (1981), ISBN 0521439736. Монография, которая содержит технические аспекты результатов, обсуждаемых в предыдущей работе. Уровень - минимум второй курс.

• Sean M. Carroll ; Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, Addison Wesley (2003), ISBN 0805387323. Современное введение; черновик текста доступен на ArXiv: "gr-qc / 9712019".

• Stephen W. Hawking & Georges F.R. Ellis ; The large scale structure of space-time, Cambridge Monograph on Mathematical Physics, Cambridge University Press (1973), ISBN 0-521-09906-4. Труд, который излагает именно теоремы о сингулярностях, доказанные в 1960-70-ые годы Хокингом и его учителем Роджером Пенроузом. Уровень - третий курс.

• Subrahmanyan Chandrasekhar ; The mathematical theory of black holes, Oxford University Press (1983), ISBN 0-19-850370-9. Математическая теория чёрных дыр от известнейшего астрофизика-теоретика родом из Индии. Уровень - третий курс.

• John Peebles ; Principles of physical cosmology, Princeton Series in Physics, Princeton University Press (1993), ISBN 0-691-01933-9. Недавний синтез космологии. Уровень - второй курс минимум.

• Albert Einstein ; La théorie de la relativité restreinte et générale, Dunod (2005), ISBN 2100487167. Английская версия есть в проекте Gutenberg.

• Albert Einstein ; Quatre conférences sur la théorie de la relativité, Dunod (2005), ISBN 2100492292. Текст четырех докладов, произнесенных в Принстонском университете в 1921.

• Hermann Weyl ; Space, time, matter, Dover Publications, Inc. (4ème édition-1952), ISBN 0486602672. Классика теоретической физики, написанная известнейшим математиком. Уровень - второй курс. (Ранее издавался французский перевод этого труда.)

• Stephen W. Hawking & Roger Penrose ; La nature de l'espace et du temps, Collection Essais, Gallimard (1997), ISBN 2-07-074465-5. Эта книга представляет недавние размышления обоих авторов, которые пытаются примирять общую теорию относительности и квантовую теорию. Хотя она содержит очень мало уравнений, эта книга, изданная в универсальной коллекции, которая теоретически должна быть доступной, принадлежит к типу "видит око, да зуб неймёт". Уровень - третий курс.

Исторические аспекты

• Jean Eisenstaedt ; Einstein & la relativité générale - Les chemins de l'espace-temps, CNRS éditions (2002), ISBN 2-271-05880-5. Глубокая история теории Эйнштейна, написанная французским специалистом.

• W. Perret and G.B. Jeffrey, trans.: The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity, New York Dover (1923), ISBN .

• Wolfgang Pauli ; Theory of relativity, Dover Publications, Inc. (1981), ISBN 0-486-64152-X. Эта книга - кладезь информации. Речь идет об английском переиздании обзорной статьи, написанной на немецком языке в 1921 году для "Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften" молодым австрийским теоретиком, тогда 21-летним, учившимся в Гёттингене у Макса Борна. Вот что пишет Борн в письме, отправленном Эйнштейну, датированном 30 декабря 1921 года: «Паули - человек, поразительный в своём возрасте - 21 год; он может гордиться своей статьей для Энциклопедии.»

• Max Jammer ; Concepts of space - The history of theories of space in physics, Dover Publications, Inc. (3ème édition-1993), ISBN 0-486-27119-6. Обширная история понятия пространства с древности до наших дней.

• Luciano Boi ; Le problème mathématique de l'espace - Une quête de l'intelligible, Springer-Verlag (1995), ISBN 3-540-58922-8. Философская история математического понятия пространства в развитии геометрии от евклидовой геометрии к современной неевклидовой, риманова версия которой необходима для формулировки общей теории относительности. Уровень - первый курс минимум.

• Marvin J. Greenberg ; Euclidean & Non-Euclidean geometries - Development & History, W.H. Freeman & Co., New-York (3ème édition-1996), ISBN 0-7167-2446-4. Книга о математике, которая изображает историю и развитие неевклидовых геометрий, главным образом в двух измерениях (геометрии Гаусса, Больяи и Лобачевского). Доступна «порядочному культурному человеку».

• Jean-Pierre Luminet & A. Grib (eds.) ; Essais de cosmologie, collection Source du savoir, Le Seuil (1997), ISBN 2-02-023284-7. Основополагающие тексты Александра Фридмана и Жоржа Леметра (с1923 по 1945 года), откомментированные издателями.

• Henri Poincaré ; La science et l'hypothèse, Collection Champs, Flammarion (1989), ISBN . Классический труд философии науки в карманном формате, написанный великим математиком (умершим в 1912). Содержит некоторые размышления о пространстве, так же как и о великих физических теориях.

Биографии Эйнштейна

• Banesh Hoffmann; " Альбер Эйнштейн, творец и мятежник ", Коллекция Пункты-науки, Порог (1975) ISBN 2020053470. Превосходная биография в карманном формате от бывшего сотрудника Эйнштейна в Принстонском Институте for Advanced Studies.

• Philippe Frank ; Einstein - Sa vie et son temps, Collection Les savants & le monde , Albin Michel (Paris-1950). Переиздание в карманном формате в коллекции Champs, Flammarion (1993) ISBN 2080812424. Биография по сведениям из первых рук, от преемника Эйнштейна на кафедре теоретической физики Университета Праги, назначенного на его рекомендации. Очень документированная, она восхитительно описывает исторический контекст (научный и политический) генезиса работ Эйнштейна.

• Abraham Pais ; Albert Einstein - Sa vie, son oeuvre, Interéditions (1993). Переиздано Dunod (2005) ISBN 2100493892. Научная биография, которая сегодня имеет наибольший авторитет, начиная со своего выхода в 1982, написана преподавателем университета Рокфеллера, который знал Эйнштейна в последние годы его жизни. Характеризуется наиболее богатым содержанием. Уровень некоторых технических пассажей - по крайней мере второй курс.

• Françoise Balibar ; Einstein : La joie de la pensée, collection Découvertes, Gallimard (1993), ISBN 2070532208.

• Jacques Merleau-Ponty ; Einstein, Collection Champs, Flammarion (1997) ISBN 2080813382. Другая биография в карманном формате, изложенная профессором эпистемологии Парижского университета X - Nanterre. Труд разделен на три части: человек, его научные труды и его философия.

Машины времени

• Jean-Pierre Luminet ; Les trous noirs, Collection Points-Sciences, Le Seuil (1992), ISBN 2020159481. Труд французского эксперта Обсерватории Медон, работающего над данной темой. Читателю излагается гипотеза о возможности путешествий во времени посредством червоточин пространства-времени. В карманном формате.

• Kip S. Thorne ; Trous noirs & distorsions du temps - L'héritage sulfureux d'Einstein, Nouvelle Bibliothèque Scientifique, Flammarion (1997). Переиздано в коллекции Champs (2001), ISBN 208081463X. Книга, главным образом посвященная черным дырам, написанная специалистом, профессором Теоретической Физики в Калифорнийского технологического института. Последняя глава представляет наиболее новые исследования (и спекуляции) автора на тему путешествий во времени.

• Paul Davies ; How to build a time machine ?, Allen Lane / The Penguin Press (London-2001), ISBN 0-71-399583-1. Краткий обзор теоретических возможностей путешествий во времени от экс-профессора Университета Аделаиды. Популярное изложение.

• J. Richard Gott ; Time travel in Einstein's universe - The physical possibilities of travel through time, Weidenfeld & Nicholson (London-2001), ISBN 0-297-60760-X. Исследование теоретических возможностей путешествий во времени профессором астрофизики Принстонского Университета, который обнаружил одну из этих возможностей (использование космической струны). Популярное изложение.

• Matt Visser ; Lorentzian Wormholes: From Einstein to Hawking, Series in computational and applied mathematical physics, American Institute of Physics (1995), ISBN 1563963949.

• Igor D. Novikov ; The River of Time, Cambridge University Press (2-nd ed. - 2001), ISBN 0521008484. Труд, написанный блестящим русским астрофизиком.

• Jim Al-Khalili ; Black Holes, Wormholes & Time Machines, Institute of Physics Publishing (1999), ISBN 0750305606. Популярное изложение.

• John Gribbin  ; In Search of the Edge of Time: Black Holes, White Holes, Wormholes, Penguin Books (2-nd ed. - 1999), ISBN 0140248145. После занятий астрофизикой в университете Кембриджа автор стал научно-популярным писателем на полный рабочий день.

• Paul J. Nahin ; Time Machines : Time Travel in Physics, Metaphysics, and Science Fiction, American Institute of Physics (2-nd ed. - 2001), ISBN 0387985719. Эта книга написана журналистом, а не физиком-теоретиком: некоторые читатели из-за этого очень разочаруются! Несмотря на это, она содержит многочисленные ссылки. Предисловие Кипа С. Торна.

Примечания

Источники