Koeficienti Gini

Koeficienti Gini u zhvillua nga statisticieni italian Corrado Gini dhe u botua në punimin e tij të vitit 1912 Variabilità e mutabilità ( italisht: ndryshueshmëria dhe mutabiliteti ). ^[13] Duke u mbështetur në punën e ekonomistit amerikan Max Lorenz, Gini propozoi që ndryshimi midis vijës së drejtë hipotetike që përshkruan barazinë e përsosur dhe vijës aktuale që përshkruan të ardhurat e njerëzve, të përdoret si një masë e pabarazisë. ^[14]

Koeficienti Gini është një indeks për shkallën e pabarazisë në shpërndarjen e të ardhurave/pasurisë, i përdorur për të vlerësuar se sa larg devijon pasuria ose shpërndarja e të ardhurave të një vendi nga një shpërndarje e barabartë.^[15]

Koeficienti Gini zakonisht përcaktohet matematikisht bazuar në lakoren e Lorenz-it, e cila paraqet proporcionin e të ardhurave totale të popullsisë (boshti y) që fitohet në mënyrë kumulative nga x -i i poshtëm i popullsisë (shih diagramin).^[16] Pra, vija në 45 gradë përfaqëson barazinë e përsosur të të ardhurave. Koeficienti Gini pastaj mund të mendohet si raporti i zonës që shtrihet midis vijës së barazisë dhe kurbës së Lorencit (e shënuar A në diagram) mbi sipërfaqen totale nën vijën e barazisë (shënuar A dhe B në diagram) ; dmth, G = A/(A + B) . Nëse nuk ka të ardhura negative, është gjithashtu e barabartë me 2 A dhe 1 − 2B për faktin se A + B = 0.5.^[17]

Supozoni se të gjithë njerëzit kanë të ardhura (ose pasuri, sipas rastit) jo negative. Në atë rast, koeficienti Gini teorikisht mund të variojë nga 0 (barazi e plotë) në 1 (pabarazi e plotë) dhe ndonjëherë shprehet si një përqindje që varion midis 0 dhe 100. Nëse vlerat negative janë të mundshme (siç është pasuria e njerëzve me borxhe), atëherë koeficienti Gini teorikisht mund të jetë më shumë se 1. Zakonisht, mesatarja (ose totali) supozohet të jetë pozitive, gjë që përjashton një koeficient Gini më të vogël se zero^[18]

Një qasje alternative është përcaktimi i koeficientit Gini si gjysma e diferencës relative mesatare absolute, e cila është ekuivalente me përkufizimin e bazuar në kurbën e Lorencit. Diferenca mesatare absolute është diferenca mesatare absolute e të gjitha çifteve të njësive të popullsisë, dhe diferenca mesatare relative absolute është diferenca mesatare absolute e ndarë me mesataren, ${\displaystyle {\bar {x}}}$ , për të normalizuar për shkallë. Nëse x _i është pasuria ose e ardhura e personit i, dhe ka n persona, atëherë koeficienti Gini G jepet nga:

${\displaystyle G={\frac {\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left|x_{i}-x_{j}\right|}}{\displaystyle {2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{j}}}}={\frac {\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left|x_{i}-x_{j}\right|}}{\displaystyle {2n\sum _{j=1}^{n}x_{j}}}}={\frac {\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left|x_{i}-x_{j}\right|}}{\displaystyle {2n^{2}{\bar {x}}}}}}$

Kur shpërndarja e të ardhurave (ose pasurisë) jepet si funksion i vazhdueshëm i densitetit të probabilitetit p ( x ), koeficienti Gini është përsëri gjysma e diferencës mesatare absolute relative:

${\displaystyle G={\frac {1}{2\mu }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(x)p(y)\,|x-y|\,dx\,dy}$

ku ${\displaystyle \textstyle \mu =\int _{-\infty }^{\infty }xp(x)\,dx}$ është mesatarja e shpërndarjes dhe kufijtë e poshtëm të integrimit mund të zëvendësohen me zero kur të gjitha të ardhurat janë pozitive. ^[19]