Квадрат

Особине квадрата су:^[3][4]

• све странице су једнаке
• сви углови су прави
• дијагонале су једнаке, полове се и секу под правим углом
• дужина дијагонале је ${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}}$
• обим квадрата је ${\displaystyle O=4\cdot a}$
• површина квадрата је ${\displaystyle P=a^{2}={\frac {d^{2}}{2}}}$
• полупречник уписаног круга је ${\displaystyle r={\frac {a}{2}}}$ , а полупречник описаног је ${\displaystyle R={\frac {\ {d}}{2}}}$

Обим и површина

Обим квадрата чије четири странице имају дужину ${\displaystyle \ell }$ је

${\displaystyle P=4\ell }$

а површина A је

${\displaystyle A=\ell ^{2}.}$ ^[2]

Пошто је четири на квадрат једнако шеснаест, квадрат четири са четири има површину једнаку његовом периметру. Једини други четвороугао са таквим својством је правоугаоник три са шест.

У класично доба, други степен је описан у смислу површине квадрата, као у горњој формули. То је довело до употребе термина квадрат да значи подизање на други степен.

Површина се такође може израчунати коришћењем дијагонале 'd према

${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}.}$

У смислу полупречника круга R, површина квадрата је

${\displaystyle A=2R^{2};}$

пошто је површина круга ${\displaystyle \pi R^{2},}$ квадрат испуњава ${\displaystyle 2/\pi \approx 0.6366}$ његовог описаног круга.^[5]

У смислу радијуса r, површина квадрата је

${\displaystyle A=4r^{2};}$

стога је површина уписаног круга ${\displaystyle \pi /4\approx 0.7854}$ површине квадрата.

Пошто је то правилан многоугао, квадрат је четвороугао најмањег периметра који обухвата дату област. Двоструко, квадрат је четвороугао који садржи највећу површину унутар датог периметра.^[6] Заиста, ако су A и P површина и обим затворени четвороуглом, онда важи следећа изопериметријска неједнакост:^[7]

${\displaystyle 16A\leq P^{2}}$

са једнакошћу ако и само ако је четвороугао квадрат.

Друге чињенице

• Дијагонале квадрата су ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (око 1,414) пута дужине странице квадрата. Ова вредност, позната као квадратни корен од 2 или Питагорина константа,^[2] била је први број за који је доказано да је ирационалан.
• Квадрат се такође може дефинисати као паралелограм са једнаким дијагоналама које деле углове.
• Ако је фигура правоугаоник (прави углови) и ромб (једнаке дужине ивица), онда је она квадрат.
• Квадрат има већу површину од било ког другог четвороугла са истим обимом.^[8]
• Квадратна плочица је једна од три правилне плочице на равни (остале су једнакостранични троугао и правилан шестоугао).
• Квадрат је у две породице политопа у две димензије: хиперкоцка и укрштени политоп. Шлафлијев симбол за квадрат је {4}.
• Квадрат је веома симетричан објекат. Постоје четири линије рефлексијске симетрије и има ротациону симетрију реда 4 (кроз 90°, 180° и 270°). Његова група симетрије је диедрална група  D₄.
• Квадрат се може уписати у било који правилан многоугао. Једини други полигон са овим својством је једнакостранични троугао.
• Ако уписани круг квадрата ABCD има додирне тачке E на AB, F на BC, G на CD, и H на DA, онда за било коју тачку P на уписаној кружници важи,^[9]

${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$

• Ако је ${\displaystyle d_{i}}$ растојање од произвољне тачке у равни до i-тог темена квадрата и ${\displaystyle R}$ је полупречник круга квадрата, онда је^[10]

${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$

• Ако су ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle d_{i}}$ растојања од произвољне тачке у равни до средишта квадрата и његова четири темена респективно, онда је^[11]

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$

и

${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$

где је ${\displaystyle R}$ полупречник круга квадрата.

Координате за темена квадрата са вертикалним и хоризонталним страницама, са центром у координатном почетку и са дужином странице 2 су (±1, ±1), док унутрашњост овог квадрата чине све тачке (x_i, y_i) са −1 < x_i < 1 и −1 < y_i < 1. Једначина

${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=1}$

одређује границу овог квадрата. Ова једначина значи „x² или y², које год је веће, једнако је 1.” Полупречник круга овог квадрата (полупречник круга повучен кроз врхове квадрата) је половина дијагонале квадрата и једнак је ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$ Тада описани круг има једначину

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2.}$

Алтернативно, једначина

${\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.}$

такође се може користити за описивање границе квадрата са координатама центра (a, b), и хоризонталним или вертикалним полупречником r. Квадрат је стога облик тополошке лопте према L₁ метрици удаљености.

• Правоугаоник
• Ромб

• Animated course (Construction, Circumference, Area)
• Weisstein, Eric W. „Square”. MathWorld. 
• Definition and properties of a square With interactive applet
• Animated applet illustrating the area of a square