Teorija aproksimacije

Kada se izabere domen (tipično interval) i stepen polinoma, sam polinom se bira na takav način da se minimizuje greška u najgorem slučaju. To jest, cilj je da se minimizuje maksimalna vrednost od ${\displaystyle \mid P(x)-f(x)\mid }$ , gde je P(x) aproksimacioni polinom, f(x) je stvarna funkcija, i x varira u izabranom intervalu. Za funkcije koje se dobro ponašaju, postoji polinom N-tog stepena koji će dovesti do krive greške koja osciluje između ${\displaystyle +\varepsilon }$ i ${\displaystyle -\varepsilon }$ ukupno N + 2 puta, dajući najgoru grešku od ${\displaystyle \varepsilon }$ . Može se videti je da postoji polinom N-tog stepena koji može da interpolira N + 1 tačaka krive. Takav polinom je uvek optimalan. Mogu se osmisliti funkcije f(x) za koje ne postoji takav polinom, ali se one u praksi retko javljaju.

Na primer, grafovi prikazani na desnoj strani pokazuju grešku u aproksimaciji log(x) i exp(x) za N = 4. Crvene krive, za optimalni polinom, su nivo, tj. one osciliraju između ${\displaystyle +\varepsilon }$ i ${\displaystyle -\varepsilon }$ . Traba imati na umu da je u svakom slučaju broj ekstrema N + 2, tj. 6. Dva ekstrema su na krajnjim tačkama intervala, na levim i desnim ivicama grafova.

Da bi se dokazalo da je ovo tačno, pretpostavimo da je P polinom stepena N koji ima opisano svojstvo, to jest, daje funkciju greške koja ima N + 2 ekstrema, naizmeničnih znakova i jednakih veličina. Crveni graf na desnoj strani pokazuje kako ova funkcija greške može izgledati za N = 4. Pretpostavimo da je Q(x) (čija je funkcija greške prikazana plavom bojom na desnom grafikonu) još jedan N-stepeni polinom koji je bolja aproksimacija za f nego P. Konkretno, Q je bliže f od P za svaku vrednost x_i gde se ekstrem P−f javlja, tako da je

${\displaystyle |Q(x_{i})-f(x_{i})|<|P(x_{i})-f(x_{i})|.}$

Kad se javi maksimum od P−f u x_i, onda je

${\displaystyle Q(x_{i})-f(x_{i})\leq |Q(x_{i})-f(x_{i})|<|P(x_{i})-f(x_{i})|=P(x_{i})-f(x_{i}),}$

Kad se javi minimum od P−f u x_i, onda je

${\displaystyle f(x_{i})-Q(x_{i})\leq |Q(x_{i})-f(x_{i})|<|P(x_{i})-f(x_{i})|=f(x_{i})-P(x_{i}).}$

Dakle, kao što se može videti na grafiku, [P(x) − f(x)] − [Q(x) − f(x)] mora ima naizmeničan znaku za N + 2 vrednosti od x_i. Ali [P(x) − f(x)] − [Q(x) − f(x)] se svodi na P(x) − Q(x) koji je polinom stepena N. Ova funkcija menja znak najmanje N+1 puta, dakle, po teoremi o srednjoj vrednosti, ona ima N+1 nula, što je nemoguće za polinom stepena N.^[10][11]

• Journal of Approximation Theory
• Constructive Approximation
• East Journal on Approximations

Teorija aproksimacije na Vikimedijinoj ostavi.

• History of Approximation Theory (HAT) Архивирано на сајту Wayback Machine (18. септембар 2019)
• Surveys in Approximation Theory (SAT) Архивирано на сајту Wayback Machine (18. септембар 2019)