ซิงเกิลตัน

ตามทฤษฎีเซตของเซอร์เมโล-แฟรนเคลนั้น สัจพจน์ความสม่ำเสมอนั้นเป็นตัวพิสูจน์ว่าไม่มีเซตไหนที่จะบรรจุสมาชิกตัวเองลงไป ซึ่งช่วยอธิบายว่าเซตโทนนั้นแตกต่างจากสมาชิกในเซตของตัวเองมาก^[1] ดังนั้น 1 และ {1} ไม่เหมือนกัน และเซตว่างก็แตกต่างจากเซตที่มีสมาชิกเป็นเซตว่าง เช่นเดียวกับ {{1, 2, 3,}} เป็นเซตโทนที่มีสมาชิกเพียงหนึ่งเดียว (ซึ่งตัวมันเองเป็นเซต ไม่ใช่เซตโทน)

ภาวะเชิงการนับของเซตที่เป็นเซตโทนของ "ก็ต่อเมื่อ" คือ 1 ตามทฤษฎีโครงสร้างเซตตามธรรมชาติของบอนนิวมันน์ เลข 1 ได้กำหนดให้เป็นเซตโทนคือ {0}

สัจพจน์ของทฤษฎีเซต : การมีอยู่ของเซตโทนเป็นลำดับของสัจพจน์การจับคู่ : สำหรับเซต A ใด ๆ สัจพจน์นี้จะใช้กับ A และ A โดยจะอ้างถึง {A, A} ซึ่งมีความหมายเดียวกับเซตโทน {A} (เพราะมีแต่สมาชิก A ไม่มีเซตอื่นเป็นสมาชิก)

ถ้า A เป็นเซตใด ๆ และ S เป็นเซตโทนใด ๆ แล้วจะมีฟังก์ชันจาก A ถึง S ที่ส่งสมาชิกทุก ๆ สมาชิกของ A ไปยังสมาชิกหนึ่งของ S ดังนั้น ทุก ๆ เซตโทน จะมีวัตถุสุดท้าย (Terminal Object) ในลำดับของเซต

เซตโทนมีสมบัติที่ว่าทุก ๆ ฟังก์ชันที่มาจากตัวมันเองสู่เซตใด ๆ จะเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง เซตที่ไม่ใช่เซตโทนที่มีคุณสมบัติเดียวกันข้างต้นคือเซตว่าง

ให้ ${\displaystyle S}$ เป็นชั้นที่จำกัดความโดยฟังก์ชันบ่งชี้

${\displaystyle b:X\to \{0,1\}}$

แล้ว ${\displaystyle S}$ จะเป็นเซตโทนก็ต่อเมื่อมี y บางตัวที่ y ∈ X แล้วสำหรับ x ใด ๆ x ∈ X,

${\displaystyle b(x)=(x=y)}$

คำจำกัดความดังต่อไปนี้ถูกเขียนขึ้นโดยไวท์เฮดและรัสเซลล์^[2]

...

${\displaystyle \iota }$ ‘${\displaystyle x={\hat {y}}(y=x)}$ Df.

โดยสัญลักษณ์ ${\displaystyle \iota }$ ‘${\displaystyle x}$ แสดงถึงเซตโทน ${\displaystyle \{x\}}$ และ ${\displaystyle {\hat {y}}(y=x)}$ แสดงถึงเอกลักษณ์ชั้นของวัตถุ (Class of Objects Identcal) กับ ${\displaystyle x}$ หรือที่รู้จักกันในรูป ${\displaystyle \{y:y=x\}}$ . ซึ่งทำขึ้นมาจำกัดความ ซึ่งเป็นรูปบบที่ง่ายกว่าข้อความข้างต้น ที่ใช้ประพจน์ ซึ่งต่อมาได้มาจำกัดความภาวะเชิงการนับของเลข 1 คือ

${\displaystyle 1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota }$ ‘${\displaystyle x)}$

...

• ตัวบ่งปริมาณ (หนึ่งตัว)