Двійкове дерево пошуку

Найпоширенішою операцією, яка виконується з бінарним деревом пошуку, є пошук в ньому певного ключа. Крім того, бінарні дерева пошуку підтримують такі запити, як пошук мінімального і максимального елемента, а також попереднього і наступного.

Пошук

Для пошуку вузла із заданим ключем в бінарному дереві пошуку використовується наступна процедура Tree_Search, яка отримує як параметри покажчик на корінь бінарного дерева і ключ k, а повертає покажчик на вузол з цим ключем (якщо такий існує; в іншому випадку повертається значення NIL).

 1. if х = nil або k = key [x] 2.    then return х 3. if k < key [x] 4.    then return Tree_Search (left [x], k) 5.    else return Tree_Search (right [x], k)

Процедура пошуку починається з кореня дерева і проходить вниз по дереву. Для кожного вузла х на шляху вниз його ключ key[x] порівнюється з переданим як параметр ключем k. Якщо ключі однакові, пошук завершується. Якщо k менше key[х], пошук триває в лівому піддереві х; якщо більше — то пошук переходить в праве піддерево.Ту ж процедуру можна записати ітеративно, «розгортаючи» рекурсію в цикл while.

Ітеративна версія процедури Пошук

 1. while x ≠ NIL и k ≠ key[х] 2.do if k ← key[х] 3.then х ← left[x] 4.else х ← right[x] 5. return x

Пошук мінімального (максимального) елемента

Алгоритм пошуку мінімального елемента.Елемент з мінімальним значенням ключа легко знайти, слідуючи за вказівниками left від кореневого вузла до тих пір, поки не зустрінеться значення NIL. Процедура TREE_MINIMUM(x) повертає покажчик на знайдений елемент піддерева з коренем x.

 1. while left[x] ≠ NIL 2.do x ← left[x] 3. return x

Алгоритм пошуку максимального елемента симетричний:

 1. while right[x] ≠ NIL 2.do x ← right[x] 3. return x

Обидва алгоритми вимагають часу O(h), де h — висота дерева.

Наступний і попередній елементи

Якщо x — покажчик на деякий вузол дерева, то процедура TREE_SUCCESSOR(X)повертає покажчик на вузол з наступним за x елементом або nil, якщо зазначений елемент — останній в дереві:

 1. if right[x] ≠  NIL 2.then return TREE_MINIMUM(right[x]) 3. у ← p[x] 4. while y ≠ NIL та x = right[y] 5.do x ← у 6.у ← p[y] 7. return у

Наведена процедура окремо розглядає два випадки. Якщо праве піддерево вершини не пусте, то наступний за x елемент є крайнім лівим вузлом у правому піддереві, який виявляється процедурою TREE_MlNlMUM(right[x]).З іншого боку, якщо праве піддерево вузла x пусте, та у x існує наступний за ним елемент y, то y є найменшим предком x, чий лівий вузол також є предком x. Для того щоб знайти y, ми просто піднімаємося вгору по дереву до тих пір, поки не зустрінемо вузол, який є лівим дочірнім вузлом свого батька. Ця дія виконується в рядках 3-7 алгоритму.

Час роботи алгоритму TREE_SUCCESSOR в дереві заввишки h складає O(h), оскільки ми або рухаємося по шляху вниз від вихідного вузла, або по шляху нагору. Процедура пошуку подальшого вузла в дереві TREE_PREDECESSOR симетрична процедурі TREE_SUCCESSOR і також має час роботи O(h).

Якщо в дереві є вузли з однаковими ключами, ми можемо просто визначити наступний і попередній вузли як ті, що повертаються процедурами TREE_SUCCESSOR та TREE_PREDECESSOR відповідно.

Додавання елемента

Для вставки нового значення v в бінарне дерево пошуку Т ми скористаємося процедурою TREE_INSERT. Процедура отримує як параметр вузол z, у якого key[z] = v, left[z] = NIL і right[z] = NIL, після чого вона таким чином змінює Т і деякі поля z, що z виявляється вставленим в відповідну позицію в дереві.

 1. у ← NIL 2. х ← root[T] 3. while x ≠ NIL 4.do у ← x 5.if key[z] < key [x] 6. then x ← left[x] 7.else x ← right[x] 8. p [z] ← у 9. if у = NIL 10.then root[T] ← z// Дерево T - пусте 11.else if key[z] <key[y] 12. then left[y] ← z 13.else right[у] ← z

Видалення елемента

Процедура видалення даного вузла z з бінарного дерева пошуку отримує як аргумент покажчик на z. Процедура розглядає три можливі ситуації:

1. Якщо у вузла z немає дочірніх вузлів, то ми просто змінюємо його батьківський вузол р[z], замінюючи в ньому покажчик на z значенням NIL.
2. Якщо у вузла z лише один дочірній вузол, то ми видаляємо вузол z, створюючи новий зв'язок між батьківським і дочірнім вузлом вузла z.
3. Якщо у вузла z два дочірніх вузла, то ми знаходимо наступний за ним вузол у, у якого немає лівого дочірнього вузла, прибираємо його з позиції, де він перебував раніше, шляхом створення нового зв'язку між його батьком і нащадком, і замінюємо ним вузол Z.

DELETE (T, z)1  if left[z] = NULL or right[z]=NULL 2    then y:=z3    else y:=SUCCESSOR(z)4  if left[y] <> NULL 5    then x:=left[y]6    else x:= right[y]7  if x <> NULL8    then p[x]:=p[y]9  if p[y]:=NULL10   then root[T]:=x11   else if y=left[p[y] ]12     then left[p[y] ] :=x13     else right[p[y] ]:=x14 if y <> z15   then val[z]:=val[y]16  //копіювання додаткових даних з y17 return y

Час на виконання цієї процедури є також O(h)

ВікіПідручник Мова програмування Лісп має дані стосовно:

Дерева

• Збалансоване дерево
• AVL-дерево
• B-дерево
• Червоно-чорне дерево
• Список структур даних
• Сортування двійковим деревом

• Томас Кормен; Чарльз Лейзерсон, Рональд Рівест. Вступ до алгоритмів. MIT Press і McGraw-Hill.
• «Искусство программирование. Сортировка и поиск». Дональд Кнут. (рос.)