Експонента (функція)

Експоненціальна функція може бути визначена різними еквівалентними способами. Наприклад, через ряд Тейлора:

${\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

або через границю:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

Тут ${\displaystyle x}$ — будь-яке комплексне число.

• ${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}$ , а зокрема, експонента — єдине рішення диференціального рівняння ${\displaystyle y'=y}$ з початковими даними ${\displaystyle y(0)=1}$ . Крім того, через експоненту виражаються загальні рішення однорідних диференціальних рівнянь.
• Експонента визначена на всій дійсній осі. Вона всюди зростає і строго більше нуля.
• Експонента — опукла функція.
• Обернена функція до неї — натуральний логарифм ${\displaystyle (\ln x)}$ .
• Фур'є-образ експоненти не існує.
• Однак перетворення Лапласа існує.
• Похідна в нулі дорівнює ${\displaystyle 1}$ , тому дотична до експоненті в цій точці проходить під кутом ${\displaystyle 45^{\circ }~{\Big (}{\frac {\pi }{4}}{\Big )}}$ .
• Основна функціональна властивість експоненти, як і всякої показникової функції:

  ${\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}$ .

  • Безперервна функція з такою властивістю або тотожно дорівнює ${\displaystyle 0}$ , або має вигляд ${\displaystyle \exp(cx)}$ , де ${\displaystyle c}$ — деяка константа.

• ${\displaystyle e^{x}=\operatorname {sh} x+\operatorname {ch} x}$ , де ${\displaystyle \operatorname {sh} }$ і ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ — гіперболічні синус і косинус.

Комплексна експонента — математична функція, що задається співвідношенням ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$ , де ${\displaystyle z}$ є комплексне число. Комплексна експонента визначається як аналітичне продовження експоненти ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ речовинного змінного ${\displaystyle x}$ :

Визначимо формальний вираз

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}}$ .

Визначений таким чином вираз на дійсній осі буде збігатися з класичною дійсною експонентою. Для повної коректності побудови необхідно довести аналітичність функції ${\displaystyle e^{z}}$ , тобто показати, що ${\displaystyle e^{z}}$ розкладається в деякий збіжний ряд, що збігається до даної функції . Покажемо це:

${\displaystyle f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Збіжність цього ряду легко доводиться:

${\displaystyle \left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}}$ .

Ряд усюди збігається абсолютно, тобто взагалі усюди збігається, таким чином, сума цього ряду в кожній конкретній точці буде визначати значення аналітичної функції ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$ . Згідно теореми єдиності, отримане продовження буде єдино, отже, на комплексній площині функція ${\displaystyle e^{z}}$ всюди визначена і аналітична.

Властивості

• Комплексна експонента — ціла голоморфна функція на всій комплексній площині. В жодній точці вона не звертається в нуль.
• ${\displaystyle e^{z}}$ — періодична функція з основним періодом 2πi: ${\displaystyle e^{i\varphi }=e^{i(\varphi +2\pi )}}$ . У силу періодичності комплексна експонента безкінечнолистна. В якості її області однолистності можна вибрати будь-яку горизонтальну смугу висотою ${\displaystyle 2\pi }$ .
• ${\displaystyle e^{z}}$ — єдина з точністю до постійного множника функція, похідна (а відповідно, і первісна) якої збігається з вихідною функцією.
• Алгебраїчно експонента від комплексного аргументу ${\displaystyle z=x+iy}$ може бути визначена наступним чином:

  ${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)}$ (формула Ейлера)

  • Зокрема, має місце (тотожність Ейлера),

    ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

Аналогічно експонента визначається для елемента довільної асоціативної алгебри.У конкретному випадку потрібен також доказ того, що зазначені межі існують.

Матрична експонента

Експоненту від квадратної матриці (або лінійного оператора) можна формально визначити, підставивши матрицю у відповідний ряд:

${\displaystyle \exp A=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}.}$

Визначений таким чином ряд збігається для будь-якого оператора ${\displaystyle A}$ з обмеженою нормою, оскільки мажорується поруч для експоненти норми ${\displaystyle A:}$ ${\displaystyle \exp \|A\|.}$ Отже, експонента матриці ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ завжди визначена і сама є матрицею.

За допомогою матричної експоненти легко задати вид рішення лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами: рівняння ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax,~~~x\in \mathbb {R} ^{n}}$ з початковою умовою ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ має своїм рішенням ${\displaystyle x(t)=\exp(At)x_{0}.}$

h-експонента

Введення ${\displaystyle h}$ -експоненти засноване на другій чудовій границі:

${\displaystyle e_{h}(x)=(1+h)^{\frac {x}{h}}.}$

При ${\displaystyle h\to 0}$ виходить звичайна експонента^[1].

Обернена функція до експоненційної функції — натуральний логарифм.Позначається ${\displaystyle \ln x}$ :

${\displaystyle \ln x=\log _{e}x.}$

• Експонентне зростання
• Показникова функція
• Список інтегралів від експоненціальних функцій

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

• «Експонента і число е: просто і зрозуміло [Архівовано 25 вересня 2015 у Wayback Machine.]» — переклад статті An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained [Архівовано 23 червня 2007 у Wayback Machine.](англ.)