Це список інтегралів (первісних функцій ) обернених тригонометричних функцій (також відомих як арк- функції). Для повнішого списку інтегралів дивись Таблиця інтегралів .
У всіх цих формурах під a мається на увазі ненульова константа , C означає сталу інтегрування , визначену тоді, коли відома точка, через яку проходить первісна. Таким чином, кожна функція має необмежену кількість первісних.
Зауваження. В математичній літературі стрічаються різна позначення для обернених тригонометричних функцій. Наприклад, арксинус може бути записаний як sin−1 , asin , або ж позначенням, що використовується тут, arcsin .
∫ arcsin x d x = x arcsin x + 1 − x 2 + C {\displaystyle \int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C} ∫ arcsin x a d x = x arcsin x a + a 2 − x 2 + C {\displaystyle \int \arcsin {\frac {x}{a}}\ dx=x\arcsin {\frac {x}{a}}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C} ∫ x arcsin x a d x = ( x 2 2 − a 2 4 ) arcsin x a + x 4 a 2 − x 2 + C {\displaystyle \int x\arcsin {\frac {x}{a}}\ dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C} ∫ x 2 arcsin x a d x = x 3 3 arcsin x a + x 2 + 2 a 2 9 a 2 − x 2 + C {\displaystyle \int x^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C} ∫ x n arcsin x d x = 1 n + 1 ( x n + 1 arcsin x + x n 1 − x 2 − n x n − 1 arcsin x n − 1 + n ∫ x n − 2 arcsin x d x ) {\displaystyle \int x^{n}\arcsin x\ dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\arcsin x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}-nx^{n-1}\arcsin x}{n-1}}+n\int x^{n-2}\arcsin x\ dx\right)} ∫ cos n x arcsin x d x = ( x n 2 + 1 arccos x + x n 1 − x 4 − n x n 2 − 1 arccos x n 2 − 1 + n ∫ x n 2 − 2 arccos x d x ) {\displaystyle \int \cos ^{n}x\arcsin x\ dx=\left(x^{n^{2}+1}\arccos x+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{4}}}-nx^{n^{2}-1}\arccos x}{n^{2}-1}}+n\int x^{n^{2}-2}\arccos x\ dx\right)} ∫ arccos x d x = x arccos x − 1 − x 2 + C {\displaystyle \int \arccos x\,dx=x\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C} ∫ arccos x a d x = x arccos x a − a 2 − x 2 + C {\displaystyle \int \arccos {\frac {x}{a}}\ dx=x\arccos {\frac {x}{a}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C} ∫ x arccos x a d x = ( x 2 2 − a 2 4 ) arccos x a − x 4 a 2 − x 2 + C {\displaystyle \int x\arccos {\frac {x}{a}}\ dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {a^{2}}{4}}\right)\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x}{4}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C} ∫ x 2 arccos x a d x = x 3 3 arccos x a − x 2 + 2 a 2 9 a 2 − x 2 + C {\displaystyle \int x^{2}\arccos {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\arccos {\frac {x}{a}}-{\frac {x^{2}+2a^{2}}{9}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C} ∫ arctan x d x = x arctan x − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C {\displaystyle \int \arctan x\,dx=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C} ∫ arctan ( x a ) d x = x arctan ( x a ) − a 2 ln ( 1 + x 2 a 2 ) + C {\displaystyle \int \arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx=x\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-{\frac {a}{2}}\ln(1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}})+C} ∫ x arctan ( x a ) d x = ( a 2 + x 2 ) arctan ( x a ) − a x 2 + C {\displaystyle \int x\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx={\frac {(a^{2}+x^{2})\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-ax}{2}}+C} ∫ x 2 arctan ( x a ) d x = x 3 3 arctan ( x a ) − a x 2 6 + a 3 6 ln ( a 2 + x 2 ) + C {\displaystyle \int x^{2}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx={\frac {x^{3}}{3}}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-{\frac {ax^{2}}{6}}+{\frac {a^{3}}{6}}\ln({a^{2}+x^{2}})+C} ∫ x n arctan ( x a ) d x = x n + 1 n + 1 arctan ( x a ) − a n + 1 ∫ x n + 1 a 2 + x 2 d x , n ≠ − 1 {\displaystyle \int x^{n}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\arctan {\big (}{\frac {x}{a}}{\big )}-{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\ dx,\quad n\neq -1} ∫ arccsc x d x = x arccsc x + ln | x + x x 2 − 1 x 2 | + C {\displaystyle \int \operatorname {arccsc} x\,dx=x\operatorname {arccsc} x+\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C} ∫ arccsc x a d x = x arccsc x a + a ln ( x a ( 1 − a 2 x 2 + 1 ) ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}\ dx=x\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}+{a}\ln {({\frac {x}{a}}({\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+1))}+C} ∫ x arccsc x a d x = x 2 2 arccsc x a + a x 2 1 − a 2 x 2 + C {\displaystyle \int x\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{2}}{2}}\operatorname {arccsc} {\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}+C} ∫ arcsec x d x = x arcsec x − ln | x + x x 2 − 1 x 2 | + C {\displaystyle \int \operatorname {arcsec} x\,dx=x\operatorname {arcsec} x-\ln \left|x+x{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\right|+C} ∫ arcsec x a d x = x arcsec x a + x a | x | ln | x ± x 2 − 1 | + C {\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}\ dx=x\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a|x|}}\ln \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C} ∫ x arcsec x d x = 1 2 ( x 2 arcsec x − x 2 − 1 ) + C {\displaystyle \int x\operatorname {arcsec} x\ dx={\frac {1}{2}}\left(x^{2}\operatorname {arcsec} x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C} ∫ x n arcsec x d x = 1 n + 1 ( x n + 1 arcsec x − 1 n [ x n − 1 x 2 − 1 + [ 1 − n ] ( x n − 1 arcsec x + ( 1 − n ) ∫ x n − 2 arcsec x d x ) ] ) {\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arcsec} x\ dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\operatorname {arcsec} x-{\frac {1}{n}}\left[x^{n-1}{\sqrt {x^{2}-1}}+[1-n]\left(x^{n-1}\operatorname {arcsec} x+(1-n)\int x^{n-2}\operatorname {arcsec} x\ dx\right)\right]\right)} ∫ arccot x d x = x arccot x + 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arccot} x\,dx=x\operatorname {arccot} x+{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C} ∫ arccot x a d x = x arccot x a + a 2 ln ( a 2 + x 2 ) + C {\displaystyle \int \operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx=x\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {a}{2}}\ln(a^{2}+x^{2})+C} ∫ x arccot x a d x = a 2 + x 2 2 arccot x a + a x 2 + C {\displaystyle \int x\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {a^{2}+x^{2}}{2}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {ax}{2}}+C} ∫ x 2 arccot x a d x = x 3 3 arccot x a + a x 2 6 − a 3 6 ln ( a 2 + x 2 ) + C {\displaystyle \int x^{2}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{3}}{3}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {ax^{2}}{6}}-{\frac {a^{3}}{6}}\ln(a^{2}+x^{2})+C} ∫ x n arccot x a d x = x n + 1 n + 1 arccot x a + a n + 1 ∫ x n + 1 a 2 + x 2 d x , n ≠ − 1 {\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\ dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {a}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}}{a^{2}+x^{2}}}\ dx,\quad n\neq -1} Джерела Двайт Г. Б. Обратные тригонометрические функции — интегралы // Таблицы интегралов и другие математические формулы / пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. — М . : Наука , 1978. — С. 106-114. (рос.)