弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规

FLRW度量首先假定空间是均匀、各向同性的；还假设度量的空间分量可随时间变化。满足这些条件的一般度量是

${\displaystyle -c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}}$

其中${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ 的范围是曲率均匀的3维空间，即椭圆空间、欧氏空间或双曲空间。通常写作3个空间坐标的函数，也有另几种约定俗成的写法，下详。${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$ 不依赖于时间t –所有的时间依赖都在函数a(t)之中，即所谓“宇宙标度因子”。

退化圆周极坐标

退化圆周极坐标中，空间度量的形式为^[5][6]

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2},\quad {\text{where }}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}.}$

k是表示空间曲率的常数。有两种常见的单位约定：

• k的量纲可以是<长度⁻²>，这时r的量纲是长度，a(t)无量纲。k 是a(t) = 1时空间的高斯曲率。r有时被称为退化圆周，因为它等于以原点为圆心的（r值下的）周长除以2π（类似于史瓦西坐标的r）。在适当的情况下，a(t)通常被选为在当前宇宙年代为1，于是${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$ 可以测量共动距离。
• 或者，也可以认为k属于集合{−1 ,0, +1}（分别表示负曲率、零曲率和正曲率）。则r是无量纲量，a(t)单位为长度。k = ±1时，a(t)是空间的曲率半径，也可以写成R(t)。

退化圆周坐标的一个缺点是，在正曲率情形下它只能覆盖3球的一般，超出这一点的圆周开始减小，从而导致退化。（若是椭圆空间即确定了对点的3球，则这不是问题）

超球面坐标

在超球面坐标或曲率归一坐标中，坐标r与径向距离成正比；由此可得

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} r^{2}+S_{k}(r)^{2}\,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}}$

其中${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Omega } }$ 如前，且

${\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin(r{\sqrt {k}}),&k>0\\r,&k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh(r{\sqrt {|k|}}),&k<0.\end{cases}}}$

如前所述，有两种常见的单位约定：

• k的单位可以是<长度⁻²>，r的单位是长度，a(t)无量纲。k是a(t) = 1时空间的高斯曲率。在适当的情况下，a(t)通常被选为在当前宇宙年代为1，于是${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$ 可以测量共动距离。
• 或者，与之前一样，可将k看做属于集合{−1 ,0, +1}（分别表示负曲率、零曲率和正曲率）。那么r是无量纲量，a(t)单位为长度。k = ±1时，a(t)是空间的曲率半径 ，也可写作R(t)。注意当k = +1时，r本质上是θ、φ之外的第三个角，可用字母χ 代替r。

S通常是按上述方法分段定义的，是k与r的解析函数。也可以写成幂级数

${\displaystyle S_{k}(r)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{n}r^{2n+1}}{(2n+1)!}}=r-{\frac {kr^{3}}{6}}+{\frac {k^{2}r^{5}}{120}}-\cdots }$

或

${\displaystyle S_{k}(r)=r\;\mathrm {sinc} \,(r{\sqrt {k}}),}$

其中sinc是未正则化的Sinc函数，${\displaystyle {\sqrt {k}}}$ 是k的虚根、零根或实根之一。这些定义对所有k都有效。

笛卡尔坐标

k = 0时可以简单写成

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}$

这可以扩展到k ≠ 0，方法是定义

${\displaystyle x=r\cos \theta \,}$ ；

${\displaystyle y=r\sin \theta \cos \phi \,}$ ，且

${\displaystyle z=r\sin \theta \sin \phi \,}$

其中r是上面定义的径向坐标之一，但这种情况很少见。

笛卡尔坐标

在使用笛卡尔坐标的平面${\displaystyle (k=0)}$ FLRW空间中，里奇张量的剩余分量为^[7]

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\quad R_{xx}=R_{yy}=R_{zz}=c^{-2}(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2})}$

里奇标量为

${\displaystyle R=6c^{-2}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}\right).}$

球面坐标

在使用球面坐标（上文称为“退化圆周极坐标”）的更一般的FLRW空间中，里奇张量的剩余分量为^[8]

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},}$

${\displaystyle R_{rr}={\frac {c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k}{1-kr^{2}}}}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)\sin ^{2}(\theta )}$

里奇标量为

${\displaystyle R=6\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{c^{2}a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{c^{2}a^{2}(t)}}+{\frac {k}{a^{2}(t)}}\right).}$

推导度量的一般形式时没有用到爱因斯坦场方程：是根据均匀与各向同性的几何特性推导出来的。然而，确定${\displaystyle a(t)}$ 的时间演化确实需要爱因斯坦场方程及计算密度${\displaystyle \rho (t)}$ 的方法，如宇宙学状态方程。

应力-能量张量同样赋以均匀与各向同性时，这一度量对爱因斯坦场方程${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$ 有一解析解，给出弗里德曼方程：^[9]

${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {8\pi G}{3}}\rho }$

${\displaystyle 2{\frac {\ddot {a}}{a}}+\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}p.}$

方程组是标准大爆炸宇宙学模型（包括当前ΛCDM模型）的基础。^[10]由于FLRW模型假定宇宙是均匀的，出现了一种流行的误解：大爆炸无法解释宇宙的团块结构。严格的FLRW模型中不存在星系与恒星，因为其密度远大于宇宙的典型部分。尽管如此，FLRW模型还是用作真实的团块结构宇宙演化的第一近似，因为它的计算很简单，计算团块性的模型则作为推广。大多数宇宙学家同意，可观测宇宙可以很好地近似一个类FLRW模型，即除密度原初扰动外都遵循FLRW度规的模型。截至2003年，人们对FLRW模型的各种扩展的理论意义似乎有了很好的理解，目标是使它们与COBE及WMAP的观测结果相一致。

若时空是多连通的，则每个事件将由多个坐标多元组表示。^{[來源請求]}

解释

上面给出的一对方程等价于下面一对方程：

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$

其中空间曲率指数${\displaystyle k}$ 是第一个方程的积分常数。

设宇宙膨胀是绝热过程（推导FLRW度规时隐含了这一假设），则第一个方程等价于热力学第一定律，可以从热力学的角度推导出来。

第二个方程指出，能量密度和压力都会导致宇宙膨胀率${\displaystyle {\dot {a}}}$ 下降，即都会使宇宙膨胀减速。这是引力作用的结果，根据广义相对论，压力的作用与质能密度类似。另一方面，宇宙学常数会导致宇宙膨胀加速。

宇宙学常数

做如下替换，宇宙学常数项便可省略掉：

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}.}$

于是可以这样解释：宇宙学常数产生于一种具有负压的能量形式，大小等于其（正）能量密度：

${\displaystyle p=-\rho c^{2}\,}$

这是具有暗能量的真空状态方程。

推广它的尝试：

${\displaystyle p=w\rho c^{2}\,}$

若不做进一步修改，推广将不具有广义不变性。

事实上，要得到1个导致宇宙加速膨胀的项，只要有1个满足以下条件的标量场就足够了：

${\displaystyle p<-{\frac {\rho c^{2}}{3}}.\,}$

这样的场有时被称为五元场（quintessence）。

牛顿解释

这是McCrea与Milne提出的，^[11]有时会被误归为弗里德曼。弗里德曼方程等价于下面这对方程：

${\displaystyle -a^{3}{\dot {\rho }}=3a^{2}{\dot {a}}\rho +{\frac {3a^{2}p{\dot {a}}}{c^{2}}}\,}$

${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}}{2}}-{\frac {G{\frac {4\pi a^{3}}{3}}\rho }{a}}=-{\frac {kc^{2}}{2}}\,.}$

第一个方程表明，一个给定立方体（瞬时边长为a）所含质量的减少量，就是因宇宙膨胀而从边流出的量，再加上压力对排除物质做功的质量当量。这就是宇宙的一部分包含的质能守恒（热力学第一定律）。

第二个方程表明，单位质量的例子随膨胀运动的动能（相对于原点）加其（负）引力势能（相对于更靠近原点的球体包含的质量）等于一个与宇宙曲率有关的常数。换句话说，处于自由落体状态的共动粒子的能量（相对于原点）守恒。广义相对论只是在宇宙空间曲率和粒子能量之间增加了一种联系：正总能量意味着负曲率，负总能量意味着正曲率。宇宙学常数项被假定为暗能量，并因此与密度及压力项合并。在普朗克时期，不能忽视量子效应。因此它们可能导致弗里德曼方程的偏离。

爱因斯坦宇宙半径 是静态宇宙的曲率半径，是个废弃已久的静态模型，本是理想化地代表我们的宇宙。在弗里德曼方程中置

${\displaystyle {\dot {a}}={\ddot {a}}=0}$

则该宇宙空间的曲率半径（爱因斯坦半径）是^{[來源請求]}

${\displaystyle R_{\text{E}}=c/{\sqrt {4\pi G\rho }},}$

其中${\displaystyle c}$ 是光速，${\displaystyle G}$ 是万有引力常数，${\displaystyle \rho }$ 是宇宙的空间密度。爱因斯坦半径的数量级在10¹⁰（100亿）光年不过现代望远镜可以探测到不同方向上130亿光年以外的遥远天体。

[[未解決的物理學問題]]：宇宙是如宇宙论原则所称，在足够大的尺度上均匀且各向同性（ΛCDM模型等使用FLRW度规的所有模型的前提假设），还是不均匀、各向异性的？^[12][13][14]CMB偶极子是纯粹的运动学现象，还是FLRW度规崩溃的信号？^[12]即使宇宙论原则是正确的，FLRW度规再晚期宇宙中是否还有效？^[12][15]

[[Category:物理學中未解決的問題|弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规]]

目前的宇宙学标准模型——ΛCDM模型使用的也是FLRW度规，在其基础上将WMAP和普朗克卫星等的观测数据与EGS定理及其推广的理论结果相结合，^[16]天体物理学家现在一致认为，早期宇宙几乎是均匀、各向同性的（在极大尺度上平均时），因此几乎是FLRW时空。尽管如此，通过对射电星系^[17]和类星体^[18]的研究，对宇宙微波背景（CMB）偶极子的纯运动学解释的尝试在幅度上有分歧。从表面价值来看，这些观测结果与FLRW度规描述的宇宙不一致；另外，我们还可以说，目前观测结果能容忍的FLRW宇宙学中，哈勃常数有最大值${\displaystyle H_{0}=71\pm 1}$ km/s/Mpc，可能表明晚期宇宙中的FLRW度规已经崩溃，因此有必要做出FLRW度规以外的解释。^[19][12]

• North J D: (1965) The Measure of the Universe – a history of modern cosmology, Oxford Univ. Press, Dover reprint 1990, ISBN 0-486-66517-8
• Harrison, E. R., Classification of uniform cosmological models, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1967, 137: 69–79, Bibcode:1967MNRAS.137...69H, doi:10.1093/mnras/137.1.69   
• d'Inverno, Ray, Introducing Einstein's Relativity , Oxford: Oxford University Press, 1992, ISBN 978-0-19-859686-8  含有內容需登入查看的頁面 (link). (See Chapter 23 for a particularly clear and concise introduction to the FLRW models.)