Pentació

En matemàtiques, la pentació és la hiperoperació que li segueix a la tetració i és anterior a la hexació. Es defineix com la iteració (repetició) de tetracions, tal com la tetració és la iteració de la potenciació.^[1] És una operació binària definida amb dos nombres a i b, on a és «tetrada» a si mateix b vegades. Per exemple, usant la notació d'hiperoperació per a la pentació i tetració, $2[5]3$ vol dir «tetrar» 2 a si mateix 3 vegades, o $2[4](2[4]2)$ . Això es pot després reduir a $2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.$

Els primers tres valors de l'expressió x[5]2. El valor de 3[5]2 és al voltant de 7.626 × 10¹²; els resultats per a valors de x més grans són massa grans per aparèixer a la gràfica.

Etimologia

La paraula pentació (en anglès, «pentation») va ser encunyada per Reuben Goodstein en 1947 de les arrels penta- (cinc) i iteració. És part del seu esquema general per a nomenar les hiperoperacions.^[2]

Notació

No existeix un consens general per a la notació de la pentació; per tant hi ha diverses maneres d'escriure l'operació. No obstant això, unes s'usen més que altres i hi ha diferents avantatges entre una i altra forma d'ús.

La pentació es pot escriure com una hiperoperació com $a[5]b$ . En aquest format, $a[3]b$ pot ser interpretat com el resultat d'aplicar repetidament la funció $x\mapsto a[2]x$ , per $b$ repeticions, començant amb el número 1. De forma anàloga, $a[4]b$ , la tetració, representa el valor obtingut a l'aplicar repetidament la funció $x\mapsto a[3]x$ , per $b$ repeticions, començant amb el número 1, i la pentació $a[5]b$ representa el valor obtingut a l'aplicar repetidament la funció $x\mapsto a[4]x$ , per $b$ repeticions, començant amb el número 1.^[3] Aquesta serà la notació usada en la resta de l'article.
En la notació de fletxa de Knuth, $a[5]b$ es representa com $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ o $a\uparrow ^{3}b$ . En aquesta notació, $a\uparrow b$ representa la funció de potenciació $a^{b}$ i $a\uparrow \uparrow b$ representa la tetració. L'operació pot adaptar fàcilment la hexació afegint una altra fletxa.
En la notació de fletxes encadenades de Conway, $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$ ^[4]
Una altra notació proposta és ${_{b}a}$ , encara que aquesta no és extensible a hiperoperacions de major ordre.^[5]

Exemples

Els valors de la funció de pentació també poden ser obtinguts dels valors en la quarta filera de valors en una variant de la funció d'Ackermann: si $A(n,m)$ es defineix com la recurrència d'Ackermann $A(m-1,A(m,n-1))$ amb les condicions inicials $A(1,n)=an$ i $A(m,1)=a$ , llavors $a[5]b=A(4,b)$ .^[6]

Com la tetració, la seva operació base, no ha estat estesa a exponents no-enters, la pentació $a[5]b$ actualment només està definida per a valors enters de a i b on $a>0$ i $b\geq -1$ , i uns pocs valors enters addicionals que podrien estar únicament definits. Com totes les hiperoperacions d'ordre 3 i més grans, la pentació té els següents casos trivials (identitats) que són veritables per a tots els valors d' a i b en el seu domini:

$1[5]b=1$
$a[5]1=a$

Addicionalment, es pot definir:

$a[5]0=1$
$a[5](-1)=0$

A més dels casos trivials a dalt exposats, la pentació genera nombres extremadament grans molt ràpidament tal que només hi ha uns pocs casos no-trivials que produeixen nombres que poden ser escrits en notació convencional, com es mostra a continuació:

$2[5]2=2[4]2=2^{2}=4$
$2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536$
$2[5]4=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (una torre d'exponents de 65.536 números d'altura) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)$ (es mostra aquí en notació d'exponents iterats, ja que és massa gran per ser escrit en notació convencional. Cal notar que $\exp _{10}(n)=10^{n}$ )
$3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987$
$3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (una torre d'exponents de 7,625,597,484,987 números de altura) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)$
$4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)$ (un nombre amb més de $10^{153}$ dígits)
$5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)$ (un nombre amb més de $10^{10^{2184}}$ dígits)

Extensió a números negatius o zero

Mitjançant l'ús del superlogaritme, $a\uparrow ^{3}b$ es pot definir quan b és negatiu o zero per a un nombre limitat de valors de b. Per tant, per a tots els valors enters estrictament positius de a, la pentació negativa es defineix de la manera següent:

$a\uparrow ^{3}0=\operatorname {slog} _{a}a=1$ si a > 1.
$a\uparrow ^{3}-1=\operatorname {slog} _{a}1=0$ si a > 1.
$a\uparrow ^{3}-2=\operatorname {slog} _{a}0=-1$ si a > 1.

Pel que fa als valors negatius de a, només $a=-1$ pot donar lloc a una extensió. En aquest cas, segons els valors de l'enter positiu b, els tres valors possibles que obtenim $-1\uparrow ^{3}b$ són indicats de la següent manera: