Pentace (nebo také hyper-5 ) je matematická operace , která je jakýmsi rozšířením tetrace . Zatímco mocnění je vlastně opakované násobení a tetrace opakované mocnění, pentace je opakovaná tetrace. Opakovaná pentace je poté hexace . Pentace je tedy definována jako iterovaná neboli opakovaná tetrace, stejně jako je tetrace opakované umocňování.[1] Jedná se o binární operaci definovanou dvěma čísly a a b , kde a je b − 1 krát tetrováno sebou samým. Například při použití hyperoperačního zápisu pro pentaci a tetraci 2 [ 5 ] 3 {\displaystyle 2[5]3} znamená tetrování 2 dvakrát, neboli 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 2 ) {\displaystyle 2[4](2[4]2)} . To lze poté redukovat na 2 [ 4 ] ( 2 2 ) = 2 [ 4 ] 4 = 2 2 2 2 = 2 2 4 = 2 16 = 65536. {\displaystyle 2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.}
Pentace může být zapisována například pomocí knuthova šipkového zápisu .
Znázornění a ↑↑↑ b = a ⋅ ⋅ ⋅ a a ⏟ b opakování a = a ↑↑ ( a ↑↑ ( … ↑↑ a ) ) ⏟ b opakování a . {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{b{\text{ opakování }}a}=\underbrace {a\,\uparrow \uparrow \,(a\,\uparrow \uparrow \,(\dots \,\uparrow \uparrow \,a))} _{b{\text{ opakování }}a}.} Příklady 3 ↑↑↑ 2 = 3 ↑↑ 3 = 3 3 = = 3 ↑ ( 3 ↑ 3 ) = 3 3 3 = 3 27 = 7625597484987 {\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow \uparrow \uparrow 2&=3\uparrow \uparrow 3={}^{3}3=\\&=3\uparrow (3\uparrow 3)=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987\\\end{aligned}}} Velikost čísel opravdu velmi rychle roste:
3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ ( 3 ↑↑ 3 ) = 3 3 3 = 7625597484987 3 = = 3 ↑↑ ( 3 ↑ ( 3 ↑ 3 ) ) = 3 ↑ ( 3 ↑ ( ⋯ ↑ 3 ) ) ⏟ 3 ↑ ( 3 ↑ 3 ) = 7625597484987 opakování 3 = 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⏟ 3 ↑ ( 3 ↑ 3 ) opakování 3 ≈ exp 10 7625597484986 ( 1,099 02 ) {\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow \uparrow \uparrow 3&=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)={}^{{}^{3}3}3={}^{7625597484987}3=\\&=3\uparrow \uparrow (3\uparrow (3\uparrow 3))=\underbrace {3\uparrow (3\uparrow (\dots \uparrow 3))} _{3\uparrow (3\uparrow 3)=7625597484987{\text{ opakování }}3}=\underbrace {3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}} _{3\uparrow (3\uparrow 3){\text{ opakování }}3}\approx \exp _{10}^{7625597484986}(1{,}09902)\end{aligned}}} Následující číslo by mělo v klasickém zápisu více než 10102184 číslic:
5 ↑↑↑ 2 = 5 ↑↑ 5 = 5 5 = 5 5 5 5 5 = 5 5 5 3125 ≈ 10 10 10 10 3 , 33928 = exp 10 4 ( 3,339 28 ) {\displaystyle 5\uparrow \uparrow \uparrow 2=5\uparrow \uparrow 5={^{5}5}=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx 10^{10^{10^{10^{3,33928}}}}=\exp _{10}^{4}(3{,}33928)} .Reference V tomto článku byl použit překlad textu z článku Pentation na anglické Wikipedii.