Lindelöfova pokrývací věta
Nechť je metrický prostor a separabilní množina. Existuje-li nespočetné pokrytí množiny M otevřenými množinami , pak z tohoto pokrytí lze vybrat spočetné podpokrytí.
Důkaz
Mějme tedy pokrytí .
Ze separability M plyne existence spočetné množiny , která je hustá v M. Zavedu systém okolí:
.
Zřejmě je množina O spočetná (protože je indexována přirozenými čísly). Dále O je pokrytím M, protože:
- Zvolím libovolné a chci ukázat, že existují přirozená čísla n0 a m0 taková, že . Nejprve tedy najdu takové , že . Protože je otevřená, vím, že existuje takové, že . Najdu tedy m0 takové, aby .
- Dále vím, že je hustá v M, tedy existuje n0 přirozené takové, že , tedy .
- Tohle okolí je ale zvolené tak, že pro něj platí , a tedy platí .
Pro každé najdu tak, aby a množinu těchto označím B. Množina B je spočetná (protože je indexována přirozenými čísly), a platí
,
tedy mám spočetné pokrytí množiny M vybrané z nespočetného pokrytí.
Související články
Literatura
🔥 Top keywords: Hlavní stranaRobert FicoSpeciální:HledáníVlastimil HarapesJuraj CintulaMistrovství světa v ledním hokeji 2024Elena StrupkováAtentát na Roberta FicaMistrovství světa v ledním hokejiNová KaledonieSvetlana FicováRadko GudasPeter PellegriniJosef TopolMistrovství světa v ledním hokeji 2023Alexander SalákTomáš HanusRobert KaliňákSpeciální:Poslední změnyVražda Jána Kuciaka a Martiny KušnírovéDagmar KřížkováPrezidentské volby na Slovensku 2024Zdeňka Žádníková-VolencováSurvivor Česko & Slovensko: Titáni vs. LovciÚtok na Václava Klause v ChrastavěČeská hokejová reprezentaceČeskoMatúš Šutaj EštokMarek ŽeníšekJakub VoráčekZuzana ČaputováHandlováFilip TopolMistrovství světa v ledním hokeji 2022Mistrovství světa v ledním hokeji 2025Pryskyřník prudkýRammsteinKarel IV.Štědřenec odvislý