Lindelöf-Raum

Ein topologischer Raum wird Lindelöf-Raum genannt, falls jede offene Überdeckung eine höchstens abzählbare Teilüberdeckung besitzt.

Hat der topologische Raum ${\displaystyle X}$ eine abzählbare Basis, so ist ${\displaystyle X}$ ein Lindelöf-Raum.

• Jeder kompakte Raum ist ein Lindelöf-Raum. Allgemeiner ist jeder ${\displaystyle \sigma }$ -kompakte Raum ein Lindelöf-Raum.
• Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er abzählbar kompakt und Lindelöf-Raum ist.
• Für metrisierbare Räume sind die drei Eigenschaften zweitabzählbar, lindelöf und separabel äquivalent.
• Abgeschlossene Teilräume von Lindelöf-Räumen sind wieder Lindelöf-Räume.
• Jeder reguläre Raum, der ein Lindelöf-Raum ist, ist ein normaler Raum.

Ein Lindelöf-Raum ${\displaystyle X}$ ist erblich, falls jeder seiner offenen Unterräume auch ein Lindelöf-Raum ist.^[1]

• Ist das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, dann ist der Lindelöf-Raum erblich.
• Jeder abzählbare Lindelöf-Raum ist erblich.

Eigenschaften

• Wenn ${\displaystyle X}$ ein lokalkonvexer Raum mit topologischen Dualraum ${\displaystyle X'}$ , der hausdorff und auch ein erblicher Lindelöf-Raum ist, dann gilt für die zylindrische σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ und borelsche σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ folgende Gleichheit

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).}$ ^[2]

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.