Ліндельофів простір

• Будь-який компактний простір, і взагалі кожен σ-компактний простір, є простором Ліндельофа. Зокрема, кожен зліченний простір також є простором Ліндельофа.

• Простір Ліндельофа є компактним тоді й лише тоді, коли він є зліченно компактним.

• Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, ^[5] є простором Ліндельофа, проте не навпаки. Наприклад, існує багато компактних просторів, які не задовольняють другу аксіому зліченності.

• Метричний простір є ліндельофовим тоді й лише тоді, коли він сепарабельний, і тоді й лише тоді, коли він задовольняє другу аксіому зліченності.^[6]

• Будь-який регулярний простір Ліндельофа є нормальним.^[7]

• Будь-який регулярний простір Ліндельофа є паракомпактним.^[8]

• Зліченне об'єднання підпросторів Ліндельофа топологічного простору є ліндельофовим простором.

• Будь-який замкнений підпростір простору Ліндельофа є ліндельофовим простором.^[9] Отже, будь-яка F_σ-множина у просторі Ліндельофа є ліндельофовим простором.

• Довільні підпростори простору Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовими просторами.^[10]

• Неперервний образ простору Ліндельофа є ліндельофовим простором.^[9]

• Добуток простору Ліндельофа і компактного простору є ліндельофовим простором.^[11]

• Добуток простору Ліндельофа і σ-компактного простору є ліндельофовим простором.

Це є наслідком попередньої властивості.

• Добуток двох просторів Ліндельофа не обов'язково є ліндельофовим простором.

Наприклад, лінія Зоргенфрея ${\displaystyle S}$ є ліндельофовим простором, але площина Зоргенфрея^[en] ${\displaystyle S\times S}$ не є ліндельофовим простором.^[12]

• У просторі Ліндельофа будь-яке локально скінченне^[en] сімейство непорожніх підмножин є зліченним.

• Простір Ліндельофа є успадкованим тоді й лише тоді, коли будь-який відкритий підпростір простору є ліндельофовим простором.^[13]

• Успадковані простори Ліндельофа є замкненими відносно зліченних об'єднань, підросторів і неперервних образів.

• Регулярний простір Ліндельофа є успадкованим ліндельофовим простором тоді й лише тоді, коли він є досконало нормальним.^[14][15]

• Будь-який простір, що задовольняє другу аксіому зліченності, є успадкованим простором Ліндельофа.

• Будь-який злічений простір є успадкованим простором Ліндельофа.

• Будь-який польський простір є успадкованим простором Ліндельофа.

• Будь-яка міра Радона на успадкованому просторі Ліндельйофа є модерованою.

Добуток просторів Ліндельофа не обов'язково є простором Ліндельофа.Типовим прикладом цього є площина Зоргенфрея^[en] ${\displaystyle \mathbb {S} }$ , яка є добутком дійсної прямої ${\displaystyle \mathbb {R} }$ з топологією напіввідкритих інтервалів з самою собою.Відкритими множинами на площині Зоргенфрея є об'єднання напіввідкритих прямокутників, які включають нижній і лівий краї і опускають верхній і правий краї, включаючи верхній лівий, нижній лівий і нижній правий кути.Антидіагональ площини ${\displaystyle \mathbb {S} }$ — множина точок ${\displaystyle (x,y)}$ таких, що ${\displaystyle x+y=0}$ .

Розглянемо відкрите покриття площини ${\displaystyle \mathbb {S} }$ , яке складається з:

1. Множини всіх прямокутників ${\displaystyle (-\infty ,x)\times (-\infty ,y)}$ , де ${\displaystyle (x,y)}$ знаходяться на антидіагоналі.
2. Множинн всіх прямокутників ${\displaystyle [x,+\infty )\times [y,+\infty )}$ , де ${\displaystyle (x,y)}$ знаходяться на антидіагоналі.

Тут слід зауважити, що кожна точка на антидіагоналі міститься точно в одній множині покриття, тому всі ці множини потрібні.

Інший спосіб переконатися, що ${\displaystyle S}$ не є простором Ліндельофа, полягає в тому, що треба помітити, що антидіагональ визначає замкнутий і незлічений дискретний підпростір простору ${\displaystyle S}$ .Цей підпростір не є підпростором Ліндельофа, і тому весь простір не може бути ліндельофовим простором (оскільки замкнені підпростори просторів Ліндельофа також є просторами Ліндельофа).

Наступне означення узагальнює означення компактності та ліндельофності:Топологічний простір є ${\displaystyle \kappa }$ -компактним (або ${\displaystyle \kappa }$ -ліндельофовим), де ${\displaystyle \kappa }$ є будь-яким кардинальним числом, якщо кожне відкрите покриття множини має підпокриття кардинальності строго меншої ніж ${\displaystyle \kappa }$ .Компактний простір є тоді ${\displaystyle \aleph _{0}}$ -компактним і простір Ліндельофа є тоді ${\displaystyle \aleph _{1}}$ -компактним.

Степінь Ліндельофа, або число Ліндельофа ${\displaystyle l(X)}$ , є найменшим кардинальним числом ${\displaystyle \kappa }$ таким, що кожна відкрите покриття простору ${\displaystyle X}$ має підпокриття розмірності не більше ${\displaystyle \kappa }$ .У цьому позначенні, простір ${\displaystyle X}$ є простором Ліндельофа, якщо ${\displaystyle l(X)=\aleph _{0}}$ .Визначене вище число Ліндельофа не розрізняє компактні простору і некомпактні простору Ліндельофа.Деякі автори назвали числом Ліндельофа інше поняття: найменше кардинальне число ${\displaystyle \kappa }$ таке, що кожне відкрите покриття простору ${\displaystyle X}$ має підпокриття розмірності строго меншої ніж ${\displaystyle \kappa }$ .^[16]У цьому останньому (і менш уживаному) сенсі число Ліндельофа є найменшим кардинальним числом ${\displaystyle \kappa }$ таким, що топологічний простір ${\displaystyle X}$ є ${\displaystyle \kappa }$ -компактним. Це поняття іноді також називають степенем компактності простору ${\displaystyle X}$ .^[17]

• Аксіоми зліченності
• Лема Ліндельофа^[en]

• Engelking, Ryszard, General Topology, Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4
• I. Juhász (1980). Cardinal functions in topology - ten years later. Math. Centre Tracts, Amsterdam. ISBN 90-6196-196-3.
• Munkres, James. Topology, 2nd ed.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995). Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.
• Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6