Gradientti

Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka on määritelty usean muuttujan skalaarifunktioille $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ . Gradientti ilmaisee funktion suurimman muutosnopeuden (gradienttivektorin pituus) ja tämän suurimman muutoksen suunnan. Funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.^[1]

Karteesisessa koordinaatistossa gradientti on vektori, jonka komponentteina ovat funktion osittaisderivaatat. Esimerkiksi kolmen muuttujan funktion gradientti merkitään $grad(f)$ tai symbolin nabla avulla $\nabla f$ ja määritellään

\nabla f(x,y,z)={\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z){\vec {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z){\vec {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z){\vec {k}}

,

missä ${\vec {i}},{\vec {j}}$ ja ${\vec {k}}$ -komponenttien kertoimet ovat funktion osittaisderivaattoja muuttujien $x,y$ ja $z$ suhteen. Yleisen $n$ muuttujan funktion gradientti määritellään

\nabla f(\mathbf {x} )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(\mathbf {x} ),&{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(\mathbf {x} ),&\cdots &,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(\mathbf {x} )\end{bmatrix}}^{T}

,

missä $\mathbf {x}$ on funktion muuttujien muodostama vektori

\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1},&x_{2},&\cdots ,&x_{n}\end{bmatrix}}^{T}

.

Gradienttia voidaan pitää derivaatan yleistyksenä usean muuttujan funktioille. Gradientti on erikoistapaus Jacobin matriisista, joka on määritelty monen muuttujan vektoriarvoisille funktioille $\mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{p}$ .

Määritelmiä ja laskusääntöjä

Differentiaali

Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin

\Delta f(x)=f'(x)\Delta x\;

,

ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla

\Delta f(\mathbf {x} )=\nabla f\cdot \Delta \mathbf {x}

,

missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.

Suunnattu derivaatta

Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin ${\vec {e}}$ suuntaan on

\partial _{\vec {e}}f(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\vec {e}}_{0}

,

missä ${\vec {e}}_{0}\;$ on ${\vec {e}}\;$ :n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.^[2]

Ketjusääntö

Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli

\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}(t),&x_{2}(t),&\cdots ,&x_{n}(t)\end{bmatrix}}^{T}

,

saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta

{\frac {df(\mathbf {x} (t))}{dt}}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} '(t)

,

missä siis

\mathbf {x} '(t)={\begin{bmatrix}x_{1}'(t),&x_{2}'(t),&\cdots ,&x_{n}'(t)\end{bmatrix}}^{T}

.

Tämä tunnetaan niin sanottuna ketjusääntönä.

Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissa

Napakoordinaatistossa annetulle funktiolle gradientti on

\nabla f(r,\phi )={\vec {e}}_{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\vec {e}}_{\phi }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}

,

sylinterikoordinaatistossa

\nabla f(r,\phi ,z)={\vec {e}}_{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\vec {e}}_{\phi }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}

sekä pallokoordinaatistossa

\nabla f(r,\theta ,\phi )={\vec {e}}_{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\vec {e}}_{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}+{\vec {e}}_{\phi }{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}

.

Huomaa, että viimeinen laskusääntö on pätevä pallokoordinaatistossa, jossa muunnoskaavat ovat ${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}$

Katso myös

Lähteet

Kirjallisuutta

Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

Weisstein, Eric W.: Gradient MathWorld. (englanniksi)
"Gradient 1" (Arkistoitu – Internet Archive) – Khan Academy (englanniksi)

[1]

[2]

Search