Градиент (лат. gradiens , gradientis - атлаучы, үсүче) — φ {\displaystyle \varphi } (скаляр кыр) зурлыгының иң зур үсүен күрсәтүче вектор, модуль буенча үсүнең тизлегенә тигез.
Градиент операциясе үрне (сулда, өстән карап) векторлар кырына (уңда) әверелдерә: барлык векторлар түбәгә юнәлдерелгән, үр авышлыгы арткан саен вектор озыная бара. 1873 елда Җеймс Максвелл тарафыннан кертелгән.
Градиент болай билгеләнә:
g r a d φ {\displaystyle \mathrm {grad} \,\varphi } яки набла операторы ярдәмендә:
∇ φ {\displaystyle \nabla \varphi } Математик билгеләмә Өч үлчәмле фәза өчен φ = φ ( x , y , z ) {\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)} скаляр функциясеннән градиент:
∂ φ ∂ x , ∂ φ ∂ y , ∂ φ ∂ z . {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}.} яки турыпочмак Декарт коордиантларында e → x , e → y , e → z {\displaystyle {\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}} берәмлекле векторлар ярдәмендә:
g r a d φ = ∇ φ = ∂ φ ∂ x e → x + ∂ φ ∂ y e → y + ∂ φ ∂ z e → z . {\displaystyle \mathrm {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.} Күп үзгәрмәле φ {\displaystyle \varphi } функциясеннән градиент n {\displaystyle n} үлчәмле вектор була:
( ∂ φ ∂ x 1 , … , ∂ φ ∂ x n ) , {\displaystyle \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\;\ldots ,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right),} f {\displaystyle f} Скаляр функциясеннән градиент һәм бик кечкенә үсемтә d x {\displaystyle d\mathbf {x} } скаляр тапкырчыгышы тулы дифференциалга тигез:
d f = ∂ f ∂ x 1 d x 1 + ∂ f ∂ x 2 d x 2 + ∂ f ∂ x 3 d x 3 + … = ∑ i ∂ f ∂ x i d x i = ( g r a d f ⋅ d x ) . {\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}+\ldots =\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}=(\mathrm {grad} \,\mathbf {f} \cdot d\mathbf {x} ).}
Теләгән кайсы коорддинатларда болай языла:
d f = ∑ i ( ∂ i f ) d x i {\displaystyle df=\sum _{i}(\partial _{i}f)\,dx^{i}}
Эйнштейн кагыйдәсен исәпкә алып:
d f = ( ∂ i f ) d x i {\displaystyle df=(\partial _{i}f)\,dx^{i}}
Интеграль формада болай язылып була:
∇ φ = lim V → 0 1 V ( ∬ S φ d s ) {\displaystyle \nabla \varphi =\lim \limits _{V\to 0}{\frac {1}{V}}\left(\iint \limits _{S}\varphi \,d\mathbf {s} \right)} ,
Сферик координатларда:
grad U ( r , θ , φ ) = ∂ U ∂ r e r → + 1 r ∂ U ∂ θ e θ → + 1 r sin θ ∂ U ∂ φ e φ → . {\displaystyle \operatorname {grad} \,U(r,\;\theta ,\;\varphi )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.} Куллану Әдәбият Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234. Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с. Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002) Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.