Gradiente

O gradiente defínese como o campo vectorial cunhas funcións coordenadas que son as derivadas parciais do campo escalar, isto é:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {r} )=\left({\frac {\partial f(\mathbf {r} )}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f(\mathbf {r} )}{\partial x_{n}}}\right)}$

Esta definición baséase en que o gradiente permite calcular facilmente as derivadas direccionais. Definindo en primeiro lugar a derivada direccional segundo un vector:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {n} }}\equiv \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\phi (\mathbf {r} -\epsilon {\hat {\mathbf {n} }})-\phi (\mathbf {r} )}{\epsilon }}}$

Unha forma equivalente de definir o gradiente é como o único vector que, multiplicado polo vector unitario, dá a derivada direccional do campo escalar:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {n} }}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\phi }$

Coa definición anterior, o gradiente está caracterizado de forma unívoca. O gradiente exprésase alternativamente mediante o uso do operador nabla, é dicir:

${\displaystyle {\rm {grad}}\ \phi =\nabla \phi }$

De forma xeométrica o gradiente é un vector normal a unha superficie ou curva do espazo que se está a estudar, nun punto calquera, chámese (x,y), (x,y,z), (tempo, temperatura) etcétera. Algúns exemplos son:

• Consideramos unha habitación na cal a temperatura defínese a través dun campo escalar, de tal maneira que en calquera punto ${\displaystyle (x,y,z)\,\!}$ , a temperatura é ${\displaystyle \phi (x,y,z)\,\!}$ . Asumiremos que a temperatura non varía con respecto ao tempo. Sendo isto así, para cada punto da habitación, o gradiente nese punto daranos a dirección na cal a temperatura aumenta máis. A magnitude do gradiente diranos a rapidez coa que se eleva a temperatura nesa dirección.
• Consideramos unha montaña na cal a altura nun punto (x,y) se define como H(x, y). O gradiente de H nese punto atópase orientado na dirección cara á que hai un maior grao de inclinación. A magnitude do gradiente diranos o empinada que se encontra a pendente.

• É ortogonal ás superficies equiescalares, definidas por ${\displaystyle \phi \,\!}$ =cte.
• Apunta no sentido en que a derivada direccional é máxima.
• O seu módulo é igual a esta derivada direccional máxima.
• Anúlase nos puntos estacionarios (máximos, mínimos e puntos cadeira).
• O campo formado polo gradiente en cada punto é sempre irrotacional, isto é,

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )\equiv {\vec {0}}}$

A partir da súa definición pode calcularse a súa expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, a súa expresión é simplemente

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}$

Nun sistema de coordenadas ortogonais, o gradiente require os factores de escala, mediante a expresión

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{1}}}{\hat {q}}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{2}}}{\hat {q}}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q_{3}}}{\hat {q}}_{3}}$

Para coordenadas cilíndricas (${\displaystyle h_{\rho }=h_{z}=1}$ , ${\displaystyle h_{\varphi }=\rho }$ ) resulta

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}$

e para coordenadas esféricas (${\displaystyle h_{r}=1}$ , ${\displaystyle h_{\theta }=r}$ , ${\displaystyle h_{\varphi }=r{\rm {sen}}\theta }$ )

${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\,{\rm {sen}}\,\theta }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}}$

Nun sistema de coordenadas curvilíneo xeral o gradiente ten a forma:

${\displaystyle \nabla \phi =g^{ij}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{i}}}{\hat {e}}_{j}}$

onde na expresión anterior se usou o convenio de sumación de Einstein.

Nun espazo euclídeo tridimensional, o concepto de gradiente tamén pode estenderse ao caso dun campo vectorial, sendo o gradiente de ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {F} }$ un tensor que dá o diferencial do campo ao realizar un desprazamento:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {F} }{d\mathbf {r} }}(\mathbf {v} ):=\lim _{\mathbf {v} \to 0}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} +\mathbf {v} )-\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{\|\mathbf {v} \|}}=(\nabla \mathbf {F} )\cdot \mathbf {v} }$

Fixada unha base vectorial, este tensor poderá ser representado por unha matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas está formada polas tres derivadas parciais das tres compoñentes do campo vectorial. O gradiente de deformación estará ben definido só se o límite anterior existe para todo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} }$ e é unha función continua de dito vector.

Tecnicamente o gradiente de deformación non é outra cousa que a aplicación linear da que a matriz xacobiana é a súa expresión explícita en coordenadas.

Dada a función ${\displaystyle f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)}$ , o seu vector gradiente é:

${\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}.}$

Aproximación linear dunha función

O gradiente dunha función ${\displaystyle f}$ definida de Rⁿ → R caracteriza a mellor aproximación linear da función nun punto particular ${\displaystyle x_{0}}$ en Rⁿ.Exprésase así:

${\displaystyle g(x)=f(x_{0})+(\nabla _{x}f(x_{0}))^{T}(x-x_{0})}$ onde ${\displaystyle \nabla _{x}f(x_{0})}$ é o gradiente fixado en ${\displaystyle x_{0}}$

Aplicacións en física

A interpretación física do gradiente é a comentada: mide a rapidez de variación dunha magnitude física ao desprazarse unha certa distancia. Un gradiente alto significa que dun punto a outro próximo, a magnitude pode presentar variacións importantes (aquí enténdese por gradiente alto un cun módulo elevado). Un gradiente dunha magnitude pequeno ou nulo implica que dita magnitude apenas varía dun punto a outro.

O gradiente dunha magnitude física posúe innumerables aplicacións en física, especialmente en electromagnetismo e mecánica de fluídos. En particular, existen moitos campos vectoriais que poden escribirse como o gradiente dun potencial escalar.

• Un deles é o campo electrostático, que deriva do potencial eléctrico:

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\phi }$

• Todo campo que poida escribirse como o gradiente dun campo escalar, denomínase potencial, conservativo ou irrotacional. Así, unha forza conservativa deriva da enerxía potencial como:

${\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V}$

• Os gradientes tamén aparecen nos procesos de difusión que verifican a lei de Fick ou a lei de Fourier para a temperatura. Así, por exemplo, o fluxo de calor nun material é directamente proporcional ao gradiente de temperaturas

${\displaystyle \mathbf {q} =-k{\boldsymbol {\nabla }}T}$

sendo ${\displaystyle \scriptstyle k}$ a condutividade térmica.