Kuulat ovat topologiassa metrisen avaruuden osajoukkoja , jotka koostuvat niistä avaruuden pisteistä , jotka ovat metriikan määritelmään kuuluvan etäisyyden sisällä erikseen määritellystä avaruuden pisteestä. Toisin sanoen kuula on eräänlainen pallopinnan sisäänsä rajaama avaruus, erotuksena itse pallopinnasta.
Suljettu kuula B ¯ ( a , r ) {\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)} eri normiavaruuksissa , kun normina käytetään euklidista normia Jos ( X , d ) {\textstyle (X,d)} on metrinen avaruus sekä a ∈ X {\textstyle \mathbf {a} \in X} ja r > 0 {\textstyle r>0} , niin joukko
B ( a , r ) = { x ∈ X : d ( x , a ) < r } {\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)<r\right\}}
on avoin kuula , jonka keskipiste on a {\textstyle \mathbf {a} } ja säde r {\textstyle r} sekä
B ¯ ( a , r ) = { x ∈ X : d ( x , a ) ≤ r } {\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)\leq r\right\}}
on suljettu kuula , jonka keskipiste on a {\textstyle \mathbf {a} } ja säde r {\textstyle r} .[1] Lisäksi määritellään joukko
S ( a , r ) = { x ∈ X : d ( x , a ) = r } {\displaystyle S\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{\mathbf {x} \in X:d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)=r\right\}} ,
joka on pallo samoilla keskipisteellä ja säteellä. Joukkoa B ( a , r ) {\textstyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)} sanotaan myös pisteen a {\textstyle \mathbf {a} } kuulaympäristöksi .[1]
Ominaisuuksia Suljettu kuula muodostuu avoimesta kuulasta ja pallosta, joilla on sama keskipiste ja säde:
B ¯ ( a , r ) = B ( a , r ) ∪ S ( a , r ) {\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=B\left(\mathbf {a} ,r\right)\cup S\left(\mathbf {a} ,r\right)} [1]
Avoin kuula on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan pallo:
B ( a , r ) = B ¯ ( a , r ) ∖ S ( a , r ) {\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)={\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)\setminus S\left(\mathbf {a} ,r\right)} [1]
Pallo on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan avoin kuula:
S ( a , r ) = B ¯ ( a , r ) ∖ B ( a , r ) {\displaystyle S\left(\mathbf {a} ,r\right)={\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)\setminus B\left(\mathbf {a} ,r\right)} [1]
Metriikan määritelmästä johtuen d ( a , a ) = 0 {\textstyle d\left(\mathbf {a} ,\mathbf {a} \right)=0} , joten kuulan keskipiste kuuluu aina sekä avoimeen että suljettuun kuulaan:
a ∈ B ( a , r ) ⊂ B ¯ ( a , r ) {\displaystyle \mathbf {a} \in B\left(\mathbf {a} ,r\right)\subset {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)} [1]
Osajoukon kuulat Metrisen avaruuden ( X , d ) {\textstyle (X,d)} osajoukossa A ⊂ X {\textstyle A\subset X} avointa kuulaa merkitään B A ( a , r ) {\textstyle B_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)} :llä. Osajoukkoon voidaan kuitenkin määritellä vain sellaiset kuulat, jotka ''mahtuvat'' joukkoon A {\textstyle A} . Toisin sanoen x ∈ B A ( a , r ) {\textstyle \mathbf {x} \in B_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)} , jos ja vain, jos x ∈ A {\textstyle \mathbf {x} \in A} (ja d ( x , a ) < r {\textstyle d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {a} \right)<r} ). Näin ollen
B A ( a , r ) = A ∩ B ( a , r ) {\displaystyle B_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)=A\cap B\left(\mathbf {a} ,r\right)} .
Vastaava pätee myös suljetuille kuulille:
B ¯ A ( a , r ) = A ∩ B ¯ ( a , r ) {\displaystyle {\bar {B}}_{A}\left(\mathbf {a} ,r\right)=A\cap {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)} . [1]
Esimerkkejä Avoin ja suljettu väli Avaruudessa R {\textstyle \mathbb {R} } , varustettuna metriikalla d ( x , y ) = | x − y | {\textstyle d(x,y)=|x-y|} , on avoin kuula B ( a , r ) {\displaystyle B\left(a,r\right)} avoin väli :
B ( a , r ) = { x ∈ R : | x − a | < r } = ] a − r , a + r [ {\displaystyle B\left(a,r\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|<r\right\}=\,]a-r,a+r[}
Vastaavasti suljettu kuula B ¯ ( a , r ) {\displaystyle {\bar {B}}\left(a,r\right)} on suljettu väli:
B ¯ ( a , r ) = { x ∈ R : | x − a | ≤ r } = [ a − r , a + r ] {\displaystyle {\bar {B}}\left(a,r\right)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|\leq r\right\}=[a-r,a+r]}
Yksiulotteinen vastaava pallo koostuu puolestaan vain kahdesta reaaliluvusta:
S ( a , r ) = { x ∈ R : | x − a | = r } = { a − r , a + r } {\displaystyle S(a,r)=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|=r\right\}=\left\{a-r,a+r\right\}}
Kiekko ja kuula Varustetaan avaruus R n {\textstyle \mathbb {R} ^{n}} metriikalla d ( x , y ) = ∑ k = 1 n ( x i − y i ) 2 {\textstyle d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2}}}} . Jos n = 2 {\displaystyle n=2} , niin avoin kuula B ( a , r ) {\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)} on reunaton kiekko :
B ( a , r ) = { ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : ( x 1 − a 1 ) 2 + ( x 2 − a 2 ) 2 < r 2 } {\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}<r^{2}\right\}}
Vastaavasti suljettu kuula B ¯ ( a , r ) {\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)} on kiekko:
B ¯ ( a , r ) = { ( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : ( x 1 − a 1 ) 2 + ( x 2 − a 2 ) 2 ≤ r 2 } {\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}\leq r^{2}\right\}}
Erityisesti origokeskinen yksikkökiekko, jonka reunakäyrä on yksikköympyrä , on suljettu kuula B ¯ ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\bar {B}}\left(0,1\right)} . Jos n = 3 {\displaystyle n=3} , niin suljettu kuula B ¯ ( a , r ) {\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)} on se, mitä yleisessä mielessä tarkoitetaan kolmiulotteisella umpinaisella pallolla (esimerkiksi kuulantyönnössä käytettävä kuula):
B ¯ ( a , r ) = { ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 : ( x 1 − a 1 ) 2 + ( x 2 − a 2 ) 2 + ( x 3 − a 3 ) 2 ≤ r 2 } {\displaystyle {\bar {B}}\left(\mathbf {a} ,r\right)=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}:(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+(x_{3}-a_{3})^{2}\leq r^{2}\right\}}
Vastaavalle avoimelle kuulalle on hankalampi keksiä todellista kolmiulotteisen maailman vastinetta, sillä siitä pitäisi olla ''kuorittu'' pois äärettömän ohut pintakerros. Origokeskinen pallo, jonka säde on 1 on puolestaan yksikköpallo S ( 0 , 1 ) {\displaystyle S(0,1)} .
{0,1}-metriikan kuula Olkoon X {\displaystyle X} mielivaltainen joukko. Asetetaan sille metriikka
d ( x , y ) = { 0 , jos x = y 1 , jos x ≠ y {\displaystyle d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)={\begin{cases}0,&{\text{jos}}~\mathbf {x} =\mathbf {y} \\1,&{\text{jos}}~\mathbf {x} \neq \mathbf {y} \end{cases}}}
Tällöin
B ( a , r ) = { { a } , jos r ≤ 1 X , jos r > 1 {\displaystyle B\left(\mathbf {a} ,r\right)={\begin{cases}\{\mathbf {a} \},&{\text{jos}}~r\leq 1\\X,&{\text{jos}}~r>1\end{cases}}} [1]
Lähteet