Pallo (geometria)

Pallo on geometriassa kaikkien niiden 3-ulotteisen avaruuden pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä on tietty vakio. Tätä vakiota kutsutaan pallon säteeksi.

Origokeskisen pallon, jonka säde on ${\displaystyle r\,}$ , yhtälö suorakulmaisessa eli karteesisessa koordinaatistossa on

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$ .

Pallo voi tarkoittaa myös pallopinnan rajoittamaa kappaletta, josta nykyään käytetään myös nimitystä kuula.

Tason ja pallon leikkauskuvio on ympyrä ja erikoistapauksessa piste. Tason kulkiessa pallon keskipisteen kautta muodostuu isoympyrä. Muita leikkausympyröitä, joiden säde on pallon sädettä lyhyempi, nimitetään pikkuympyröiksi. Lyhin reitti kahden pallon pinnalla olevan pisteen kautta kulkee pitkin ko. pisteiden kautta kulkevaa isoympyrää.^[2]

Pallon pinta-ala ${\displaystyle A\,}$ saadaan kaavasta

${\displaystyle \displaystyle A=4\pi r^{2}}$ , missä ${\displaystyle r}$ on pallon säde.

Pallon tilavuus ${\displaystyle V\,}$ saadaan kaavasta

${\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}$ .

Jos pallon tilavuus tunnetaan, pallon säde ${\displaystyle r\,}$ saadaan kaavasta

${\displaystyle r={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}}$ .

Jos pallon halkaisija ${\displaystyle d}$ ja ympärysmitta ${\displaystyle p}$ tunnetaan, saadaansen pinta-ala (ilman lukua ${\displaystyle \pi }$ ) kaavasta:

${\displaystyle A=pd}$

ja tilavuus kaavasta

${\displaystyle V={\frac {pd^{2}}{6}}}$ .

Pallo on kaikista suljetuista pinnoista se, joka tiettyyn pinta-alaan nähden sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen tilavuuden.

Jos ${\displaystyle A}$ on suljetun pinnan pinta-ala ja ${\displaystyle V}$ sen sisäänsä sulkema tilavuus, niin:

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{V^{2}}}\geq 36\pi }$ .

Yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun em. suljettu pinta on pallon muotoinen. Pallolle:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$ ja

${\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}$ , joten

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{V^{2}}}={\frac {(4\pi r^{2})^{3}}{({\frac {4\pi r^{3}}{3}})^{2}}}={\frac {4^{3}\pi ^{3}r^{6}}{\frac {4^{2}\pi ^{2}r^{6}}{3^{2}}}}={\frac {3^{2}\cdot 4^{3}\pi ^{3}r^{6}}{4^{2}\pi ^{2}r^{6}}}=3^{2}\cdot 4\pi =36\pi }$ .

Vertailun vuoksi esimerkiksi kuutio, jonka särmän pituus on ${\displaystyle a}$ :

${\displaystyle A=6a^{2}}$ ja

${\displaystyle V=a^{3}}$ , joten

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{V^{2}}}={\frac {(6a^{2})^{3}}{(a^{3})^{2}}}={\frac {6^{3}a^{6}}{a^{6}}}=6^{3}=6^{2}\cdot 6=36\cdot 6>36\pi }$ .

Suljettu pallo (x-keskinen ja r-säteinen) on joukko
${\displaystyle {\bar {B}}(a;r)={\bar {B}}^{n}(x;r):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:||x-y||\leq r\}}$ , ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ja ${\displaystyle r>0\,\!}$ .

Avoin pallo (x-keskinen ja r-säteinen) on joukko
${\displaystyle B(x;r)=B^{n}(x;r):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:||x-y||<r\}}$ , ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ja ${\displaystyle r>0\,\!}$ .

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Pallo (geometria).

• Opetus TV: Pallo
• Pallon tilavuuslaskuri