Lukujono

Tarkemmin lukujonolla (a_n) tarkoitetaan kuvausta

${\displaystyle a:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {K} }$

missä ${\displaystyle \mathbb {N} }$ on luonnollisten lukujen joukko ja ${\displaystyle \mathbb {K} }$ mikä tahansa lukujoukko. Usein K=N, Q, R tai C.

Lukujonoa merkitään a(n) = a_n. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a₀, a₁, a₂,... nimitetään lukujonon jäseniksi. Jos lukujonon jäsenet ovat reaalilukuja, sanotaan, että (a_n) on reaalilukujono, jos taas jäsenet ovat rationaalilukuja, sanotaan, että (a_n) on rationaalilukujono, jne.

Jono on kasvava, jos kaikilla n pätee x_n ≤ x_n+1 ja aidosti kasvava, jos kaikilla n pätee x_n < x_n+1. Vastaavasti määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko kasvava tai vähenevä.

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus ${\displaystyle d}$ on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+d(n-1)}$ .

Geometrinen lukujono

Geometrinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä ${\displaystyle q}$ on vakio. Jos ${\displaystyle q}$ on esimerkiksi 1,1, tarkoittaa se sitä, että lukujonon seuraava jäsen on aina 10% edellistään suurempi. Esim. ${\displaystyle 1,1.1,1.21,1.331,1.4641...}$ .

Geometrisen lukujonon yleinen termi on ${\displaystyle a_{n}=a_{1}q^{(n-1)}}$ .

1. ${\displaystyle (a_{n})=n}$ tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa ${\displaystyle a_{0}=0,a_{1}=1}$ ...

• Toisin sanoen ${\displaystyle (a_{n})=0,1,2,3,4,5,6,...}$

2. ${\displaystyle (b_{n})=n^{2}}$ tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa ${\displaystyle a_{0}=0,a_{1}=1,a_{2}=4,...}$

3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f_{1}&=&1&\\f_{2}&=&1&\\f_{n+1}&=&f_{n}+f_{n-1},&n=2,3,4...\end{matrix}}\right.}$

• Täten esimerkiksi ${\displaystyle f_{3}=f_{2}+f_{1}=1+1=2,\quad f_{4}=f_{3}+f_{2}=2+1=3}$ .
• Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...

4. Kun määritellään

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{0}=2\\a_{n+1}=(a_{n})^{2}\end{matrix}}\right.}$

saadaan lukujono 2, 2² = 4, 4² = 16, 16² = 256, 256² = 65536,..., ts. a₀=2, a₁=4, a₂=16, a₃=256,...

5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse.^[1] Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.

6. Lukujono 1, 2, 6, 19, 63, 216, 760, 2725, ...^[2] kuvaa ns. kiinnitettyjen (ts. esim. peilikuvat katsotaan erillisiksi tapauksiksi) polyominojen^[3] lukumäärää alkioiden lukumäärän n (1, 2, 3, ...) funktiona. Polyominoja voi tutkia myös piirtämällä ruutupaperille pisteitä viivojen risteyskohtiin siten, että mikään piste ei ole muusta kuviosta erillään. Esimerkiksi kolmen pisteen tapauksessa saadaan kuusi hahmoa:

          .       .     .. . .     .     . .     . .     . .     . .          .                       .     .

Riippumatta äärellisen lukujonon jäsenten määrästä äärellisellä lukujonolla on aina olemassa maksimi ja minimi eli suurin ja pienin alkio. Todistetaan väite induktiolla:

Alkuaskel

Olkoon joukko ${\displaystyle X=:\{x\}}$ , joten sen maksimi (ja minimi) on itsestään selvästi luku ${\displaystyle x}$ . Väite siis pätee, kun joukon alkioiden lukumäärä on yksi.

Induktio-oletus

Induktio-oletus: Oletetaan, että mielivaltaisessa joukossa ${\displaystyle A}$ on ${\displaystyle n}$ määrä alkiota eli ${\displaystyle \#A=:n\in \mathbb {N} }$ ja että väite pätee, jolloin joukolla ${\displaystyle A}$ on olemassa maksimi eli ${\displaystyle maxA}$ .

Induktioaskel

Olkoon ${\displaystyle B}$ mielivaltainen joukko, jossa on ${\displaystyle n+1}$ määrä alkiota. Poistetaan ${\displaystyle B}$ :stä mikä tähansa sen alkio ${\displaystyle b}$ . Nyt saadaan joukko ${\displaystyle C=:B\setminus \{b\}}$ , jossa on ${\displaystyle n}$ määrä alkiota, joten sillä on olemassa induktio-oletuksen nojalla ${\displaystyle maxC}$ . Täten myös joukolla ${\displaystyle B}$ on olemassa maksimi, joka on ${\displaystyle max\{maxC,\ b\}}$ .

Näin ollen mille tahansa mielivaltaiselle äärelliselle joukolle ${\displaystyle D}$ (${\displaystyle \#D=:m\in \mathbb {N} }$ ) löydetään aina maksimi.

Vastaavalla tavalla todistetaan minimin olemassaolo.

Kun lukujonosta vähennetään nolla tai enemmän alkioita ja järjestys säilytetään, nimitetään tällaista lukujonoa osajonoksi.

Esimerkiksi

Olkoon (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ... ) (termejä äärettömän monta) jono a.

Tällöin jono (a₂, a₄, a₅, ...) (termejä silti äärettömän monta) on eräs jonon a osajono.

Huomioitavaa on, että lukujono on myös itse itsensä eräs osajono.

Osajonon indeksitkin muodostavat oman jononsa (osajono voidaan tällöin esittää muodossa: a_y1, a_y2, a_y3, a_y4, ...) jota merkitään joskus esimerkiksi y = (y₁, y₂, y₃, ...). Tällöin pätee aina: y_n ≥ n.

Todistus induktiolla:

Alkuaskel: n = 1, jolloin y₁ on minimissään (maksimista ei luonnollisesti tarvitse välittää) 1. Tällöin pätee 1 ≤ y₁.

Induktio-oletus: n ≤ y_n.

Induktio-askel: n+1 ≤ y_n+1. Koska indeksit ovat luonnollisia lukuja, niin pätee y_n+1 ≤ y_n+1, mistä seuraa: n+1 ≤ y_n+1, MOT.

Jokaisella lukujonolla on monotoninen (eli nouseva tai laskeva) osajono

Todistus:

Olkoon joukko ${\displaystyle S=:\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}\leq x_{k}\ \forall k>n\}}$ .

1) Joukossa ${\displaystyle S}$ on ääretön määrä alkoita

${\displaystyle S=:\{s_{1},\ s_{2},\ s_{3},\ ...\}}$ , jossa siis ${\displaystyle s_{n}<s_{n+1}}$ ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$ . Tällöin pätee ${\displaystyle x_{s_{n}}\leq x_{s_{n+1}}\ \forall n\in \mathbb {N} }$ . Näin ollen osajono ${\displaystyle (x_{s_{n}})}$ on nouseva.

2) Joukko ${\displaystyle S}$ on äärellinen

i) ${\displaystyle S}$ on tyhjä, jolloin valitaan ${\displaystyle r_{1}=:1}$ .

ii) ${\displaystyle S}$ on epätyhjä, jolloin valitaan ${\displaystyle r_{1}=:maxS+1}$ .

Koska ${\displaystyle r_{1}\notin S}$ , niin ${\displaystyle \exists r_{2}>r_{1}}$ siten, että ${\displaystyle x_{r_{1}}>x_{r_{2}}}$ . Samalla tavalla osoitetaan induktiolla, että ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \ \exists r_{n+1}>r_{n}}$ siten, että ${\displaystyle x_{r_{n}}>x_{r_{n+1}}}$ . Näin ollen osajono ${\displaystyle (x_{r_{n}})}$ on aidosti laskeva.

• Sarja
• Cauchyn jono

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.