Postupnosť (matematika)

Postupnosť je

• neklesajúca, ak pre všetky i platí ${\displaystyle a_{i}\geq a_{i-1}}$ ,
• nerastúca, ak pre všetky i platí ${\displaystyle a_{i}\leq a_{i-1}}$ ,
• rastúca, ak pre všetky i platí ${\displaystyle a_{i}>a_{i-1}}$ ,
• klesajúca, ak pre všetky i platí ${\displaystyle a_{i}<a_{i-1}}$ ,
• zdola ohraničená v množine A, ak existuje také ${\displaystyle L\in {\mathit {A}}}$ , že pre všetky i platí ${\displaystyle a_{i}\geq L}$ ,
• zhora ohraničená v množine A, ak existuje také ${\displaystyle K\in {\mathit {A}}}$ , že pre všetky i platí ${\displaystyle a_{i}\leq K}$ .

Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.

Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ohraničená.^[2]

Hovoríme, že postupnosť

• konverguje, ak má konečnú limitu (napr. ${\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots }$ konverguje k 0),
• diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr. ${\displaystyle 1,2,3,\ldots }$ diverguje k ${\displaystyle \infty }$ ),
• osciluje, ak limitu nemá (napr. ${\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots }$ ).

Ak je ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ postupnosť (všeobecne reálnych) čísiel a ${\displaystyle (k_{n})_{n=1}^{\infty }}$ rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz ${\displaystyle (a_{k_{n}})_{n=1}^{\infty }}$ nazývame vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z ${\displaystyle a_{n}}$ (inými slovami, z ${\displaystyle a_{n}}$ vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).

Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je ${\displaystyle {\mathit {(}}a_{n})}$ ohraničená postupnosť v ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , potom z nej možno vybrať postupnosť ${\displaystyle {\mathit {(}}a_{k_{n}})}$ , ktorá je konvergentná.^[3][4]