Følgje

Ei uendeleg følgje er ein funksjon frå mengda av dei naturlege tala N:

${\displaystyle f(n)=x_{n}\ \ n\in N}$

Følgje vert sagt å vere definert i mengda V, der V er verdiområdet til funksjonen. Funksjonsverdiane ${\displaystyle x_{n}}$ vert kalla ledda i følgja.

Alle dei følgjande døma indikerer vanleg notasjon for ei følgje:

${\displaystyle \{x_{n}\}\qquad \quad \{x^{n}\}\qquad \quad \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\qquad \quad \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\qquad \quad x_{1},x_{2},x_{3},\dots }$

For ei endeleg følgje vert det nytta ei endeleg delmengd av N som indeksmengd i staden for N. Vanlegvis nyttast mengda ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ eller mengda ${\displaystyle \{0,\ldots ,n-1\}}$ for ei følgje med n element.

Ei følgje ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ i eit metrisk rom konverger mot ein grenseverdi x dersom det for ein kvar verdi av epsilon ${\displaystyle \epsilon }$ eksisterer eit heiltal N slik at

${\displaystyle n>N\Rightarrow d(x_{n},x)<\epsilon \,}$

der d er metrikken. Eksistensen av ein grenseverdi kan skrivast som

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\,}$ .

Definisjonen kan kompakt skrivast som

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\iff (\forall \epsilon >0)(\exists N\in \mathbb {N} )(n>N\Rightarrow d(x_{n},x)<\epsilon )}$

Ei cauchyfølgje eller ei fundamentalfølgje er ei følgje i eit metrisk rom der avstanden mellom to vilkårlege element gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgja dei to elementa er.

Eit metrisk rom vert sagt å vere komplett dersom ei kvar cauchyfølgje i rommet konvergerer mot ein grenseverdi som er inneheldt i rommet. Mengda av reelle tal er komplett, medan mengda av rasjonale tal ikkje er det.

Ei følgje ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ i eit metrisk rom er avgrensa dersom verdiområdet er avgrensa. Det vil si at det eksisterer eit element x i det metriske rommet og ein konstant M slik at

${\displaystyle d(x,x_{n})<M\,}$ .

Ei kvar konvergent følgje er avgrensa.

Ei følgje av reelle tal ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ er monoton dersom ho er opptil eller nedtil monoton:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}x_{n}&\leq x_{n+1}&{\mbox{Opptil monoton}}\\x_{n}&<x_{n+1}&{\mbox{Strengt opptil monoton}}\\x_{n}&\geq x_{n+1}&{\mbox{Nedtil monoton}}\\x_{n}&>x_{n+1}&{\mbox{Strengt nedtil monoton}}\\\end{array}}}$

Ei opptil monoton følgje vert òg kalla monotont veksande. Ei monoton minkande følgje er det same som ei nedtil monoton følgje.

Ei monoton følgje er konvergent visst og berre visst ho er avgrensa.

Ei delfølgje er avleidd frå ei følgje ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ved å velje ut ei delmengd av ledda, men halde rekkefølgja. La ${\displaystyle \{n_{k}\}}$ vere ein monoton veksande følgje av naturlege tal. Ei delfølgje kan då skrivast som

${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}}$

Som døme er ${\displaystyle \{1/(2n)\}}$ ei delfølgje av følgja ${\displaystyle \{1/n\}}$ .

Dersom delfølgja er konvergent med grenseverdi x, seier ein at x òg er ei delfølgjegrense for følgja ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ .

Bolzano-Weierstrass' teorem kan formulerast som at ei kvar avgrensa følgje av reelle tal inneheld ei konvergent delfølgje.

Cauchyproduktet av to følgjer ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ og ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ er definert som ei ny følgje ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ der kvart ledd er definert ved summasjonen

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}$

Døme 1: Aritmetiske følgjer

Ei aritmetisk følgje er ei talfølgje der differensen mellom to påfølgjande ledd er konstant, dvs

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\,}$

Aritmetiske følgjer er divergente for alle verdiar av konstanten d ulik null.

Døme 2: Geometriske følgjer

Ei geometrisk følgje er ei talfølgje der forholdet mellom to påfølgjande ledd er konstant, dvs

${\displaystyle a_{n}=ka_{n-1}\,}$

Følgjene konvergerer mot null dersom absoluttverdien av konstanten k er mindre enn 1.

Døme 3: Harmoniske følgjer

I ei harmonisk følgje er ledda definert som inversen av ledda i ei aritmetisk følgje. Dersom følgja ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ er ei aritmetisk følgje med ledd ulik null, så vil ${\displaystyle \{a_{n}\}=\{1/b_{n}\}}$ vere ei harmonisk følgje. Ledda i ei harmonisk følgje kan definerast ved

${\displaystyle a_{n}={a_{0} \over 1+nd}\,}$

der d er ein konstant slik at (-1/d) ikkje er eit naturleg tal.

Døme 4: Fibonaccifølgje

Ei fibonaccifølgje er definert rekursivt ved

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{hvis }}n=0\\1&{\mbox{hvis }}n=1\\a_{n-1}+a_{n-2}&{\mbox{elles}}\end{cases}}}$

Fibonaccifølgja er divergent.

Døme 5: Følgje for Eulertalet

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(1+{1 \over n})^{n}=e}$

Grenseverdien er eulertalet e.

Døme 6

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1}$

Døme 7

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{ hvis }}a>0}$

• Primtalsørken

• Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.