Эҙмә-эҙлелек

Һанлы эҙмә-эҙлелек миҫалдары:

• Урамдағы йорттар эҙмә-эҙлелеге сикле эҙмә-эҙлелек миҫалы булып тора.
• ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$ бер үҙгәреүсәнле күпбыуынын уның коэффициенттарының сикле, йәки ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i>n}$ тип фаразлағанда сикһеҙ эҙмә-эҙлелек итеп ҡарарға була.
• Ябай һандарҙың эҙмә-эҙлелеге — иң билдәле тривиаль булмаған сикһеҙ һанлы эҙмә-эҙлелектәрҙең береһе булып тора.
• Һәр ысын һанға сылбырлы кәсер тип аталған үҙ эҙмә-эҙлелеген ярашлы ҡуйырға мөмкин, ә рациональ һандар өсөн ул һәр ваҡыт сикле, алгебраик иррациональ һандар өсөн ул сикһеҙ (квадратик иррационаллек өсөн — периодлы), ә трансцендент һандар өсөн сикһеҙ һәм периодлы түгел, әммә унда айырым һандар сикһеҙ һан тапҡыр була ала. Мәҫәлән, ${\displaystyle {\frac {13}{9}}}$ һаны өсөн сылбырлы кәсер сикле һәм ${\displaystyle [1;2,4]}$ тигеҙ, ә ${\displaystyle \pi }$ һанының сылбырлы кәсере сикһеҙ, периодлы түгел һәм ошондай күренештә: ${\displaystyle [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,\dots ]}$ .
• геометрияла йыш ҡына формалары түбәләре һанына ғына бәйле төҙөк күпмөйөштәр эҙмә-эҙлелеге ҡарала,.
• Эҙмә-эҙлелек хатта күмәклектәрҙән дә торорға мөмкин, мәҫәлән, ${\displaystyle n}$ -сы позицияла бер үҙгәреүсәнле бөтөн коэффициентлы ${\displaystyle n}$ -сы дәрәжәләге бөтә күпбыуындар күмәклеге булған эҙмә-эҙлелекте төҙөргә мөмкин.

Ҡәтғи билдәләмә

Ирекле тәбиғәтле ниндәйҙер элементтар күмәклеге ${\displaystyle X}$ бирелһен, ти.${\displaystyle \mathbb {N} }$ натураль һандар күмәклегенең бирелгән ${\displaystyle X}$ күмәклегенә (${\displaystyle X}$ күмәклеге элементтарына) һәр ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to X}$ сағылышы эҙмә-эҙлелек тип атала^[1].

Тамғалауҙар

${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots }$ күренешендәге эҙмә-эҙлелектәрҙе түңәрәк йәйәләр ярҙамында компактлы яҙыу ҡабул ителгән:

${\displaystyle (x_{n})}$ йәки ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ .

Ҡайһы берҙә фигуралы йәйәләр ҡулланыла:

${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ .

Сикле эҙмә-эҙлелектәр түбәндәге күренештә яҙылырға мөмкиндәр:

${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{N}}$ .

Шулай уҡ эҙмә-эҙлелек, әгәр ${\displaystyle f}$ функцияһы алдан билдәләнгән булһа, йәки уның тамғаланышы функцияның үҙе менән алмаштырыла алһа,

${\displaystyle (f(n))}$ тип яҙылырға мөмкин,

Мәҫәлән, ${\displaystyle f(n)=n^{3}}$ булғанда эҙмә-эҙлелек ${\displaystyle (n^{3})}$ күренешендә яҙыла ала.

Бәйле билдәләмәләр

• ${\displaystyle n}$ натураль һанының образы, атап әйткәндә ${\displaystyle x_{n}=f(n)}$ элементы, эҙмә-эҙлелектең ${\displaystyle n}$ -сы быуыны тип атала, ә эҙмә-эҙлелектең ${\displaystyle x_{n}}$ быуынының рәт номеры ${\displaystyle n}$  — уның индексы тип атала.
• Эҙмә-эҙлелектең элементтарынан төҙөлгән ${\displaystyle X}$ күмәклегенең ${\displaystyle f\left[\mathbb {N} \right]}$ аҫкүмәклеге эҙмә-эҙлелектең ташыусыһы тип атала: индекс натураль һандар күмәклеге аша үткәндә, эҙмә-эҙлелек быуындарын һүрәтләүсе нөктә ташыусы буйлап «хәрәкәт итә».
• ${\displaystyle (x_{n})}$ эҙмә-эҙлелегенең аҫ эҙмә-эҙлелеге тип ${\displaystyle k}$ -ға бәйле ${\displaystyle (x_{n_{k}})}$ эҙмә-эҙлелеге атала, бында ${\displaystyle (n_{k})}$  — натураль һандарҙың үҫә барыусы эҙмә-эҙлелеге. Аҫ эҙмә-эҙлелекте төп нөсхә эҙмә-эҙлелектән уның ҡайһы бер быуындарын алып ташлап алырға мөмкин.

Иҫкәрмәләр

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$ күмәклегенең теләһә ниндәй үҙ-үҙенә сағылышы шулай уҡ эҙмә-эҙлелек була.
• ${\displaystyle X}$ күмәклегенең элементтары эҙмә-эҙлелеген ${\displaystyle X}$ -тың натураль һандар күмәклегенә изоморфлы ярайһы уҡ тәртипкә килтерелгән аҫкүмәклеге тип ҡарарға мөмкин.

Һандар эҙмә-эҙлелеген биреү ысулдары

[[Файл:FibonacciChamomile.PNG|thumb|upright|21 (зәңгәр) һәм 13 (аква) спиралдәренең урынлашыуын күрһәткән һары ромашка башы. Фибоначчи һандарының эҙмә-эҙлелеген үҙ эсенә алған бындай схемалар төрлө үҫемлектәрҙә осрай^[2]}}.

1. Аналитик, бында эҙмә-эҙлелек n-сы быуыны формулаһы менән бирелә, мәҫәлән: ${\displaystyle a_{n}={\frac {n}{n+1}}}$
2. Рекуррент, Мәҫәлән, Фибоначчи һандары, бында эҙмә-эҙлелектең теләһә ниндәй быуыны алдағы быуындар аша күрһәтелә: ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}}$
3. Һүҙ менән; Мәҫәлән, теләһә ниндәй сикһеҙ унарлы кәсер өсөн, һәр итерацияла кәсерҙе бәләкәйерәк йәки ҙурыраҡ яғына түңәрәкләп, уның кәме менән алынған һәм артығы менән алынған унарлы яҡынлашыуҙары эҙмә-эҙлелеген төҙөргә мөмкин.

«Алгоритм — ул ниндәй ҙә булһа мәсьәләне хәл итеү өсөн ғәмәлдәрҙең ҡәтғи һәм логик эҙмә-эҙлелеге булып тора (математик, мәғлүмәти һ. б.)»^[3][4]

Математикала эҙмә-эҙлелектәрҙең төрлө типтарын ҡарайҙар:

• Һанлы Һанлы эҙмә-эҙлелектәр;
• Метрик арауыҡ элементтары эҙмә-эҙлелектәре;
• һанлы, шулай уҡ һан булмаған тәбиғәтле ваҡытлы рәттәр;
• Функциональ арауыҡтың элементтары эҙмә-эҙлелектәре;
• Идара итеү системаһының һәм автоматтарҙың тороштары эҙмә-эҙлелектәре.

Эҙмә-эҙлелектәрҙе өйрәнгәндә килеп тыуған практик мөһим мәсьәләләр:

• Был эҙмә-эҙлелек сиклеме, әллә сикһеҙме, тигән һорауҙы асыҡлау. Мәҫәлән, 2020 йылға 51 ябай Мерсенн һаны билдәле, әммә ундай һандарҙың тағы ла булмауы иҫбатланмаған.
• Эҙмә-эҙлек быуындары араһында законлыҡтар эҙләү.
• Эҙмә-эҙлелектең ${\displaystyle n}$ -сы быуыны өсөн яҡшы яҡынлашыу булып хеҙмәт итә алған аналитик формула табыу. Мәҫәлән, ${\displaystyle n}$ -сы ябай һан өсөн ${\displaystyle n\ln(n)}$ формулаһы буйынса яҡшы яҡынлашыу бирелә (теүәлерәктәре лә бар).
• Буласаҡ тороштарҙы күҙаллау, беренсе сиратта, бирелгән эҙмә-эҙлелек сикле йәки сикһеҙ (${\displaystyle X).}$ күмәклегенең төрөнә ҡарап,һанлы йәки һан булмаған) сикләнмәгә йыйылыусан эҙмә-эҙлелекме тигән һорауҙы асыҡлау.

Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

• Эҙмә-эҙлелектең быуындарын мотлаҡ натураль һандар менән нумерацияларға кәрәкмәй — мәҫәлән,Фибоначчи эҙмә-эҙлелеге тиҫкәре бөтөн һандарға дауам ителергә мөмкин.
• Шулай уҡ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} }$ Декарт ҡабатландығы элементтары менән нумерланған «күп үлсәмле эҙмә-эҙлелектәр» бар. Мәҫәлән Туэ-Морс эҙмә-эҙлелегенең күп үлсәмле киңәйтеүе шундайҙарға.ҡарай. Шулай уҡ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n-1},x_{n}}$ күп үҙгәреүсәнле күпбыуынын сикле ${\displaystyle n}$ -үлсәмле эҙмә-эҙлелек итеп ҡарарға мөмкин, бында ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots i_{n-1},i_{n}}$ позициияһында ${\displaystyle x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\dots x_{n-1}^{i_{n-1}}x_{n}^{i_{n}}}$ ҡабатландығының коэффициенты урынлашҡан.

• Иерархия
• Направленность (математика)

• Последовательность // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 242-245. — 352 с.