Matrice nulle

Matrice dont tous les coefficients sont nuls

En mathématiques, et en particulier en algèbre linéaire, une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont nuls. Des exemples de matrices nulles sont :

L'ensemble des matrices de dimension à coefficients dans un anneau forme un anneau . La matrice nulle , dans est la matrice ayant tous les coefficients égaux à , où est l'élément neutre additif de .

La matrice nulle est l'élément neutre additif de . Cela signifie que pour toute matrice on a

Il existe exactement une matrice nulle de dimension ayant des coefficients dans un anneau donné ; ainsi, lorsque le contexte apparaît clairement, 0 désigne la matrice nulle. En général, l'élément zéro d'un anneau est noté 0 sans aucun indice indiquant l'anneau le contenant. Ainsi, les trois premiers exemples ci-dessus représentent des matrices nulles sur n'importe quel anneau.

La matrice nulle représente, dans n'importe quelles bases, l'application linéaire nulle.

Propriétés

Nous avons :

  • norme : ║0m, n║ = 0 quelle que soit la norme ;
  • rang : rg(0m, n) = 0 ;

Dans le cas des matrices nulles carrées :

Occurrences

  • Le problème des matrices mortelles est le problème consistant à déterminer, étant donné un ensemble fini de matrices carrées d'ordre n à coefficients entiers, si elles peuvent être multipliées dans un certain ordre, éventuellement avec répétition, pour donner la matrice nulle. On sait que ce problème est indécidable pour un ensemble de six matrices d'ordre 3 ou plus, ou un ensemble de deux matrices d'ordre 15[1],[2].
  • Dans la régression par les moindres carrés ordinaires, si l'ajustement aux données est parfait, la matrice de projection[Laquelle ?] est la matrice nulle.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Zero matrix » (voir la liste des auteurs).
🔥 Top keywords: Wikipédia:Accueil principalCookie (informatique)Nouvelle-CalédonieSpécial:RechercheJudith GodrècheLes Douze Coups de midiGreta GerwigLa Chronique des BridgertonJean-Michel JarreFrancis Ford CoppolaYasukeN'Golo KantéÉmilie DequenneMaurice Barthélemy (acteur)Mohamed AmraKanakZaho de SagazanChatGPTAudrey FleurotMegalopolis (film)Joséphine JapyRobert FicoFichier:Cleopatra poster.jpgSlimane (chanteur)HPI (série télévisée)La Planète des singes (franchise)Kylian MbappéWillem DafoeAnya Taylor-JoySondages sur les élections européennes de 2024Prise d'otages d'OuvéaFrançois CivilConjecture de GoldbachMeryl StreepChiara MastroianniMarcello MastroianniCarlos TavaresFranceJordan Bardella