Matrice nulla

In matematica, una matrice nulla o matrice zero è una matrice i cui valori sono tutti pari a zero.

La matrice nulla con $m$ righe e $n$ colonne viene indicata con $0_{m\times n}$ , o più semplicemente con $0$ .

Sono qui mostrate alcune matrici quadrate nulle:

{\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}

Proprietà

Elemento neutro

La matrice nulla è l'elemento neutro rispetto all'operazione di somma fra matrici. In altre parole, valgono le relazioni

A+0=0+A=A

per ogni matrice $A$ avente lo stesso numero di righe e colonne di $0$ .

L'insieme $M(m,n,K)$ di tutte le matrici $m\times n$ a valori in un fissato campo $K$ è un gruppo e uno spazio vettoriale, e la matrice nulla $0$ è l'elemento neutro di entrambe le strutture.

Se $m=n$ , è definita anche una moltiplicazione e l'insieme $M(m,m,K)$ è anche un anello: tutte queste strutture sono riassunte nella nozione di algebra su campo, e $0$ è sempre l'elemento neutro rispetto alla somma. L'elemento neutro rispetto al prodotto è la matrice identità.

Applicazioni lineari

Alla matrice nulla è associata la trasformazione lineare identicamente nulla: quell'applicazione $0:V\to W$ fra spazi vettoriali che associa ad ogni vettore $v$ di $V$ il vettore nullo di $W$ .