Nullmátrix

Az R gyűrű feletti ${\displaystyle m\times n}$ -es mátrixok a mátrixösszeadásra és -szorzásra nézve gyűrűt alkotnak; jelölje ezt ${\displaystyle R_{m,n}}$ .Ebben a gyűrűben a ${\displaystyle 0_{R_{m,n}}}$ nullmátrix is az a mátrix, amelynek minden eleme ${\displaystyle 0_{R}}$ , ahol ${\displaystyle 0_{R}}$ az R zéruseleme.

${\displaystyle 0_{R_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{R}&0_{R}&\cdots &0_{R}\\0_{R}&0_{R}&\cdots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\cdots &0_{R}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$

A nullmátrix az ${\displaystyle R_{m,n}}$ gyűrű zéruseleme.^[1] Ez definíció szerint azt jelenti, hogy bármely ${\displaystyle A\in R_{m,n}\,}$ mátrixra

${\displaystyle 0_{R_{m,n}}+A=A+0_{R_{m,n}}=A.}$

A lineáris algebrában a nullmátrix azt a lineáris transzformációt reprezentálja, ami minden vektort a zéróvektorba (csupa nulla koordinátájú vektor) küld.^[2]

A mátrixszorzás definciójából következően ha ${\displaystyle A\in R_{n,k}\,}$ , akkor

${\displaystyle 0_{R_{m,n}}A=0_{R_{m,k}}}$

Speciálisan ha m = n, akkor a négyzetes ${\displaystyle 0_{R_{m,m}}}$ mátrix idempotens mátrix, azaz a négyzete önmaga.

A nullmátrix az egyetlen olyan mátrix, aminek rangja nulla. (Ez a rang definíciójának egyenes következménye.)

• Egységmátrix
• Nilpotens mátrix

• Lang, Serge. Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, 25. o. (1987). ISBN 9780387964126 

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zero matrix című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.