Redukált tömeg

Ha a két tömeg ${\displaystyle m_{1}}$ , illetve ${\displaystyle m_{2}}$ , akkor az általunk kiválasztott tömeget helyettesítjük :${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ -vel, a rá ható erő pedig a két test között fellépő kölcsönhatási erő lesz.

Vizsgáljuk az ${\displaystyle m_{1}}$ , illetve az ${\displaystyle m_{2}}$ anyagi pontok mozgását az ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}}$ (${\displaystyle m_{1}}$ részéről ${\displaystyle m_{2}}$ -re ható kölcsönhatási erő) és ${\displaystyle \mathbf {F} _{21}}$ (${\displaystyle m_{2}}$ részéről ${\displaystyle m_{1}}$ -re ható kölcsönhatási erő) hatására.

Az anyagi pontok mozgásegyenletei:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{1}}{dt}}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}}$ illetve ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{2}}{dt}}={\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}}$

ezeket egymásból kivonjuk:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} _{1}}{dt}}-{\frac {d\mathbf {v} _{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})}{dt}}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}}$

A ${\displaystyle (\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {v} _{12}}$ az ${\displaystyle m_{1}}$ relatív sebessége az ${\displaystyle m_{2}}$ -höz képest. Továbbá mivel ${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=-\mathbf {F} _{12}}$ (a kölcsönhatási erők ellentétes irányításúak), tovább rendezhetjük az egyenletet:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {v} _{12}=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}}$

A ${\displaystyle d\mathbf {v} _{12}/dt}$ az ${\displaystyle m_{1}}$ tömegű anyagi pont ${\displaystyle \mathbf {a} _{12}}$ relatív gyorsulása. Bevezetve a

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

jelölést, ahol ${\displaystyle \mu }$ tömeg dimenziójú mennyiség, és az egyenletbe helyettesítve következik:

${\displaystyle \mathbf {a} _{12}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}}$ .

Ez az összefüggés kimutatja, hogy két kölcsönhatásban lévő anyagi pont viszonylagos mozgása megfelel egy ${\displaystyle \mu }$ tömegű anyagi pontnak a kölcsönhatási erő hatására létrejövő mozgásával. Ezért nevezzük a ${\displaystyle \mu }$ mennyiséget redukált tömegnek.

Filep Emőd és Néda Árpád: Mechanika. Egyetemi jegyzet. 110. oldal.