มวลลดทอน

มีวัตถุ 2 ชิ้น มีมวล m₁ และ m₂ ถ้าจะพิจารณาให้เป็นปัญหาที่มี 1 วัตถุ เราสามารถใช้มวลลดทอน ดังสมการ

${\displaystyle \mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\!\,}$

สมบัติของมวลลดทอน

มวลลดทอนจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับมวลของแต่ละวัตถุเสมอ

${\displaystyle \mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}\!\,}$

และมีสมบัติการบวกส่วนกลับของมวลลดทอน ดังนี้

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\,\!}$

ในกรณีที่ ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$

${\displaystyle {\mu }={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}\,\!}$

สมการของมวลลดทอน สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้

กลศาสตร์นิวตัน

จากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน แรงที่วัตถุที่ 2 กระทำต่อวัตถุที่ 1 คือ

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.\!\,}$

ในขณะเดียวกัน แรงที่วัตถุที่ 1 กระทำต่อวัตถุที่ 2 คือ

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,}$

และจากกฎการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน แรงที่วัตถุที่ 2 กระทำต่อวัตถุที่ 1 จะเท่ากับแรงที่วัตถุที่ 1 กระทำต่อวัตถุที่ 2 แต่มีทิศทางตรงกันข้าม จะได้ว่า

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.\!\,}$

ดังนั้น

${\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,}$

และ

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.\!\,}$

ความเร่งสัมพัทธ์ a_rel ระหว่าง 2 วัตถุ คือ

${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{\rm {red}}}}.}$

กลศาสตร์แบบลากรางจ์

สมการลากรางจ์ของปัญหาที่มีวัตถุ 2 ชิ้น คือ

${\displaystyle L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,}$

โดยที่ ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{i}}$ คือ เวกเตอร์บอกตำแหน่งของมวล ${\displaystyle m_{i}}$ และพลังงานศักย์ V คือฟังก์ชันที่ขึ้นกับระยะห่างระหว่างอนุภาค กำหนดให้

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

และให้จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทั้ง 2 ชิ้น เป็นจุดร่วมกัน โดยอยู่ที่จุดกำเนิด

${\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0}$

จะได้ว่า

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\;\mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}$

จากนั้น แทนค่า ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{1}}$ และ ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{2}}$ ในสมการลากรางจ์

${\displaystyle L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),}$

โดยที่ ${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ คือ มวลทดทอน

• [1]
• [2]