Teorema di Tolomeo

Dato un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza, vale la seguente relazione:

${\displaystyle {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}},}$

o, a parole,

Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza, la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle sue diagonali.

È anche vero il viceversa, ossia:

Se in quadrilatero la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle sue diagonali, allora il quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza.

• Sia ABCD un quadrilatero ciclico.
• Si determini sulla diagonale AC il punto E, tale che l'angolo AEB sia congruente con l'angolo BCD.
• Osservando il disegno centrale, a destra, si vede che i triangoli AEB (giallo) e BCD (viola) sono simili; infatti gli angoli in C e in E sono uguali per costruzione, mentre gli angoli in A e D sono uguali in quanto angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda BC. Di conseguenza, vale la relazione:

${\displaystyle {\overline {AE}}:{\overline {CD}}={\overline {AB}}:{\overline {BD}}}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}={\overline {AE}}\cdot {\overline {BD}}.}$

• Osservando il disegno in basso, a destra, si vede che anche i triangoli BEC (giallo) e ABD (viola) sono simili; infatti gli angoli in B sono congruenti, come lo sono gli angoli in C e D, in quanto angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda AB. Quindi si ha che:

${\displaystyle {\overline {EC}}:{\overline {AD}}={\overline {BC}}:{\overline {BD}},}$

da cui

${\displaystyle {\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {EC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

• Sommando membro a membro la seconda e la quarta equazione si ottiene:

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AE}}\cdot {\overline {BD}}+{\overline {EC}}\cdot {\overline {BD}}=\left({\overline {AE}}+{\overline {EC}}\right)\cdot {\overline {BD}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

• Disuguaglianza di Tolomeo

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Il teorema di Tolomeo

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