ブール代数

ブール代数（ブール束）とは束論における可補分配束（complemented distributive lattice）のことである。

集合 L と L 上の二項演算 ∨（結び（join）と呼ぶ），∧（交わり（meet）と呼ぶ）の組 ⟨ L; ∨, ∧ ⟩ が以下を満たすとき分配束（distributive lattice）と呼ぶ。

• 交換則：x ∧ y = y ∧ x 、x ∨ y = y ∨ x
• 結合則：(x ∧ y)∧ z = x ∧(y ∧ z) 、(x ∨ y)∨ z = x ∨(y ∨ z)
• 吸収則^{[注釈 1]}：(x ∧ y)∨ x =x 、(x ∨ y)∧ x = x
• 分配則：(x ∨ y)∧ z = (x ∧ z)∨(y ∧ z) 、(x ∧ y)∨ z = (x ∨ z)∧(y ∨ z)

さらに L の特別な元 0, 1 と単項演算 ¬ について、以下が成り立つとき組 ⟨ L; ∨, ∧, ¬, 0, 1 ⟩ を可補分配束（ブール束）と呼ぶ。

• 補元則： x ∨ ¬x = 1， x ∧ ¬ x = 0。

典型的な例は、台集合として特別な２つの元 0, 1 のみの２点集合 {0, 1} からなるものであり、コンピュータの動作原理の理論としても知られている。この代数の上では排他的論理和 (xor) や否定論理積(nand)など応用上重要な演算子が ∧、 ∨、 ¬ の組み合わせで記述される(∧ または ∨ も ¬ と残りの1つの組み合わせで記述される。)。

任意の元 x に対して 積の冪等則x² = x を満たす単位的環 B をブール環（boolean ring）という。このとき単位的環の公理から

−x=(−1)x=x(−1)

さらに

(−x)(−y)=xy

が導かれ、それらと冪等則により

${\displaystyle x+x=0,\qquad xy=yx}$

を得る^{[注釈 2]}。つまり(乗法が)冪等的かつ単位的な環は加法に関して全ての元の位数が高々2であるような可換環となる。したがって

${\displaystyle x\wedge y=xy,\qquad x\vee y=x+y+xy,\qquad \neg x=1+x}$

とおけば B はブール代数となる。また B がブール代数のとき

${\displaystyle xy=x\wedge y,\qquad x+y=(x\wedge \neg y)\vee (\neg x\wedge y)}$

と^{[注釈 3]}おけば B はブール環となる。この対応はブール代数とブール環の間の自然な一対一対応を定めるので、しばしばこの2つは同一視される。^[1]。

注釈

出典

• レイモンド・スマリヤン『スマリヤン先生のブール代数入門　嘘つきパズル・パラドックス・論理の花咲く庭園』川辺治之 訳、共立出版、2008年8月。ISBN 978-4-320-01869-3。 
• ガーレット・バーコフ、ソンダース・マクレーン『現代代数学概論』奥川光太郎・辻吉雄 共訳（改訂第3版）、白水社、1967年。 
• 前田 周一郎『束論と量子論理』森北出版、2015年8月。ISBN 978-4-627-05399-1。  - 1980年に槙書店から出版され、2015年に森北出版から復刊された。
• Birkhoff, Garrett (1979), Lattice Theory (3rd Revised ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1025-5 
• Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002), Introduction to lattices and order (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1, MR1902334, Zbl 1002.06001, https://books.google.com/books?id=vVVTxeuiyvQC 
  • 本田あおい「書評 「Introduction to Lattices and Order」」（PDF）『知能と情報』第19巻第2号、日本知能情報ファジィ学会、2007年4月、148頁。 
• Grätzer, George (2008), Universal Algebra (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-77486-2, https://books.google.com/books?id=8lNkXPJas4wC 
• Halmos, Paul R. (2012), Lectures on Boolean Algebras, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90094-0, https://books.google.com/books?id=_JPfBwAAQBAJ 

• 西村敏男『ブール代数』 - コトバンク
• 『ブール束』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Boolean Algebra". mathworld.wolfram.com (英語).
• The Mathematics of Boolean Algebra （英語） - スタンフォード哲学百科事典「ブール代数」の項目。
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Boolean algebra”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Boolean_algebra