Baza ortonormalna – zbiór wektorów
w przestrzeni unitarnej
z iloczynem skalarnym
o następujących własnościach[1]:
dla każdego
(tj. każdy element ma normę 1),- ortogonalność:
dla różnych ![{\displaystyle e_{1},e_{2}\in {\mathcal {E}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a60d2051ba8f63fae17c8259599e429aeabce9)
- domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru
jest całą przestrzenią ![{\displaystyle H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8933ae7244305ae7824aa18e077d1cf946e2ee9d)
Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta.
- Zbiór
jest bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej ![{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00b2b4fd27c2cbffa02df568472f77b194a6db9)
- Zbiór
jest bazą ortonormalną przestrzeni
wszystkich ciągów liczbowych sumowalnych z kwadratem. - Zbiór
jest bazą ortonormalną przestrzeni zespolonej
Fakt ten jest podstawą teorii szeregów Fouriera. - Bazą ortonormalną przestrzeni
gdzie
jest dowolnym zbiorem, jest rodzina
gdzie:
![{\displaystyle e_{i}(j)={\begin{cases}1&j=i\\0&j\neq i\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b156d3dda1252a5caf2a5cbcef7c31b921c471)
Jeżeli
jest bazą ortonormalną przestrzeni
to dowolny wektor
tej przestrzeni daje się zapisać w postaci:
![{\displaystyle h=\sum _{e\in {\mathcal {E}}}\langle h,e\rangle e.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada163399270ecb58112f914998ab9bfc0ba4ac4)
Z powyższej równości, nazywanej tożsamością Parsevala, wynika że baza ortonormalna jest bazą Schaudera.
Normę wektora
można wyrazić za pomocą równości[2]:
![{\displaystyle \|h\|^{2}=\sum _{e\in {\mathcal {E}}}|\langle h,e\rangle |^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a095c821a51ed9367ff002c828fa94ab4eb802f)
Równości te są prawdziwe również w przypadku, gdy
jest zbiorem nieprzeliczalnym, gdyż z definicji jedynie przeliczalnie wiele składników odpowiedniej sumy jest różnych od zera.
Przestrzeń Hilberta
z bazą
jest izometrycznie izomorficzna z opisaną wyżej przestrzenią
gdzie
jest dowolnym zbiorem równolicznym z ![{\displaystyle {\mathcal {E}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/decad47596c9782386e4550103babdfc17314214)
Istnienie bazy ortonormalnejedytuj kod
Jeżeli
jest zbiorem wektorów parami ortogonalnych w przestrzeni Hilberta
to domknięcie powłoki liniowej zbioru
jest podprzestrzenią liniową
Zbiór
jest wówczas bazą ortogonalną dla tej podprzestrzeni.
Korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna, można uzasadnić[1], że każda przestrzeń Hilberta ma bazę ortogonalną, a w konsekwencji ortonormalną. Dowolne dwie bazy ortogonalne jednej przestrzeni mają równą moc[3]. Przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma przeliczalną bazę ortogonalną[4]. Istnieją przestrzenie unitarne bez bazy ortonormalnej[5].
Każdy skończony lub przeliczalny układ wektorów liniowo niezależnych można zortogonalizować – to znaczy utworzyć inny układ wektorów, będących kombinacjami liniowymi wektorów danego układu w ten sposób, by nowy układ był już układem ortogonalnym. Typową metodą jest ortogonalizacja Grama-Schmidta[1].