Liczenie na palcach

Naukowcy Rochel Gelman oraz Charles Ransom Gallistel w 1986 roku opracowali pięć zasad, na których opiera się umiejętność liczenia na palcach^[1][2]:

1. stałość kolejności liczebników – np. po jeden zawsze jest dwa, a nie np. trzy^[1][2]
2. brak znaczenia kolejności obiektów^[1][2];
3. wszystkie obiekty mogą być liczone w ten sam sposób^[1][2];
4. wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość^[a] – każdej liczbie przypisana jest dokładnie jedna etykieta werbalna^[1][2];
5. liczebnik na ostatnim miejscu sekwencji liczenia oznacza liczność danego zbioru – np. gdy na głos po kolei policzymy swoje palce: pierwszy, drugi, trzeci, czwarty, piąty, szósty, siódmy, ósmy, dziewiąty, dziesiąty, to fakt iż ostatni policzony palec był dziesiąty, oznacza, że wszystkich palców jest dziesięć^[1][2].

Posługiwanie się palcami okazuje się bardzo pomocne w zrozumieniu tych zasad, ponieważ w przeciwieństwie do liczebników palce są ciągle widoczne i dostępne, a także bardziej rozróżnialne percepcyjnie niż liczebniki (werbalne etykiety liczb), które muszą być zapamiętane^[2].

Przyczyny wysokiej użyteczności palców do liczenia na nich są następujące^[3]:

1. palce umożliwiają tworzenie wzrokowo-przestrzennej reprezentacji liczb^[4], są łatwo rozróżnialne percepcyjnie i reprezentują kolejne dyskretne wartości^[5];
2. palce umożliwiają zrozumienie dziesiętnego systemu liczbowego^[6];
3. palce pomagają zrozumieć zasadę wzajemnej jednoznaczności^[5][7];
4. liczenie na palcach pozwala odciążyć pamięć roboczą podczas wykonywania operacji matematycznych oraz systematycznie kontrolować poprawność^[5];
5. w przeciwieństwie do cyfr arabskich lub zbiorów reprezentacje palców pozwalają zrozumieć istotę liczby kardynalnej (ostatni liczebnik wypowiedziany podczas liczenia określa łączną liczbę obiektów w zestawie)^[4];
6. palce umożliwiają realizację podstawowych operacji arytmetycznych na liczbach jednocyfrowych^[8];
7. za pomocą palców można liczyć od dowolnej liczby^[6];
8. palce pozwalają śledzić liczbę słów wypowiadanych podczas sekwencji liczenia^[9];
9. własne palce stanowią narzędzie, które każdy człowiek ma zawsze przy sobie^[3][5];
10. palce zazwyczaj nie są zakryte przez ubranie, więc łatwo na nich manipulować^[5],
11. palce mogą być wykorzystane zarówno do określenia liczby kardynalnej (liczebność zbioru), jak i porządkowej (kolejność obiektów)^[5][10].

Dzieci na pewnym etapie rozwoju używają palców do liczenia i obliczania, nawet jeśli zostało to zabronione^[11]. Bardzo szkodliwe jest zabranianie używania palców do liczenia dzieciom, które tego potrzebują^[3][12][13]. Hamuje to rozwój matematyczny dziecka, uniemożliwia mu samodzielne zdobywanie i rozwijanie wiedzy matematycznej^[3][12][13]. Ponadto, nawet gdy dziecko opanuje już liczenie w pamięci, w pewnych sytuacjach nadal może wspomagać się liczeniem na palcach^[3][13].

Badania dowodzą, że do tworzenia abstrakcyjnych pojęć wykorzystywane są te same obwody neuronalne, które pierwotnie służyły do wykonywania operacji percepcyjnych i motorycznych^[b][5].

Liczenie na palcach i nawyki z nim związane mają też wpływ na umysłowe przetwarzanie liczb i charakter ich reprezentacji nie tylko u dzieci, ale także u osób dorosłych^[14][15]. Liczenie na palcach nie jest przejściowym etapem w rozwoju, a nawyki liczenia na palcach mają wpływ na przebieg wykonywanych w pamięci obliczeń arytmetycznych^[15][16]. Umiejętności nabyte podczas liczenia na palcach mogą pozwolić uczniom w przyszłości tworzyć własne, skuteczne strategie rozwiązywania problemów matematycznych – przykładowo zadanie ${\displaystyle 6+7=?}$ pewien uczeń rozwiązał następująco: biorę po 5 z szóstki i siódemki, więc zostanie mi 1 i 2, czyli 3, więc wynik to 13 – co stanowi strategię arytmetyczną odwołującą się do liczenia na palcach – rozbicie liczb na piątki, czyli na całe dłonie^[15]. Uczeń nie stworzyłby takiej strategii, gdyby nie miał doświadczenia z liczeniem na palcach^[15]. Liczenie na palcach na początku edukacji matematycznej dziecka zwiększa prawdopodobieństwo, że uzyskane przez niego wyniki działań arytmetycznych będą poprawne, zaś wielokrotne uzyskiwanie tych samych, poprawnych wyników, utrwala w jego umyśle prawidłowe fakty arytmetyczne^[17][18]. Dotyczy to głównie prostego dodawania^[17]. Przykładowo, jeśli uczeń przy dodawaniu ${\displaystyle 8+7}$ wielokrotnie uzyska wynik 15, to z czasem utrwali i zapamięta, że ${\displaystyle 8+7=15}$ i wykonywanie tego prostego działania nie będzie już wymagało ponownego przeliczania, a jedynie przywołania faktu arytmetycznego z pamięci długotrwałej^[17][18]. Siła asocjacji zależy od wcześniejszych doświadczeń^[18]. Będzie ona wysoka u dziecka, które wielokrotnie poprawnie wykonało to równanie, zaś dość niska u dziecka, które przy rozwiązywaniu tego równania wiele razy się myliło^[18].

Bardzo szkodliwe jest także zabranianie liczenia na palcach dzieciom cierpiącym na dyskalkulię^[19][20]. Stosowane przez te dzieci strategie liczenia na palcach są nieoptymalne i doprowadzają do licznych błędów, lecz po zabronieniu liczenia na palcach, dzieci te popełniają jeszcze więcej błędów^[19][20].

Liczenie na palcach pełni ważną funkcję w procesie nabywania kompetencji matematycznych przez dzieci oraz w poznaniu matematycznym u osób dorosłych^[3]. W badaniach longitudinalnych (od początku przedszkola do końca drugiej klasy szkoły podstawowej) uzyskano wyniki świadczące o tym, że dzieci liczące na palcach lepiej sobie radzą z rozwiązywaniem problemów matematycznych, choć wraz z wiekiem wielkość korelacji maleje^[3][21].

Naturalną kolejnością rozwoju umiejętności liczenia jest przechodzenie od reprezentacji konkretnych do abstrakcyjnych^[2]. Jako reprezentację abstrakcyjną rozumie się liczenie w pamięci^[22]. Według prof. dr. hab. Edyty Gruszczyk-Kolczyńskiej i Ewy Zielińskiej, w pierwszej fazie rozwoju umiejętności liczenia dziecko powinno opanować umiejętności:

• zliczania obiektów,
• odróżniania prawidłowego liczenia od błędnego,
• dodawania,
• odejmowania^[22].

Najpierw wykonywane jest to na materiale konkretnym (np. zabawki, klocki, liczmany)^[22]. Później liczenie odbywa się na palcach^[22]. Na końcu dziecko opanowuje umiejętność liczenia w pamięci^[22]. Największe znaczenie ma jednak proces przejścia od materiałów konkretnych do własnych palców^[22]. Posługiwanie się palcami jest czymś więcej niż wykorzystywaniem zewnętrznych obiektów^[23]. Jest to w pewnym stopniu oderwanie od konkretów (palce stają się reprezentantami innych obiektów)^[22]. W toku edukacji nauczyciel powinien pokazać dziecku, że zamiast przedmiotów konkretnych do liczenia można wykorzystać własne palce^[22].

Według profesora Wygotskiego rozwój umiejętności arytmetycznych dziecka można podzielić na 4 etapy^[24]:

1. Stadium naturalnych reakcji arytmetycznych – jest to percepcja ilości, ogólna percepcja liczebności, porównywanie mniejszych i większych zbiorów przedmiotów itp.^[24];
2. Stadium naiwnej psychologii – dziecko próbuje naśladować liczenie dorosłych, lecz nie ma świadomości, w jaki sposób należy liczyć korzystając z cyfr^[24] (przykładem zachowania dziecka w tym stadium jest sytuacja, w której dziecko poproszone o policzenie palców innej osoby odpowiada, że potrafi policzyć wyłącznie własne palce^[24]);
3. Stadium liczenia na palcach – dziecko opanowało umiejętność liczenia na palcach^[24];
4. Stadium liczenia w pamięci – dziecko potrafi już liczyć w pamięci, w większości sytuacji nie musząc wspomagać się palcami^[24].

Istnieje hipoteza postawiona przez Heike Wiese w 2003 roku, mówiąca o tym, że pokazywane na palcach liczby są dla dzieci w wieku przedszkolnym bardziej przystępne niż liczebniki^[25]. Zdania naukowców na temat tej hipotezy są podzielone^[15].

Istnieją badania potwierdzające, że palce są wykorzystywane w ontogenezie, zanim wykształci się reprezentacja symboliczna (np. cyfry lub liczebniki)^[26].

Istnieją także badania stwierdzające coś przeciwnego – że symboliczne systemy liczenia nie są zakorzenione w doświadczeniach cielesnych^[27]. Badaniu poddano dzieci w wieku 2–5 lat^[27]. Podzielono je na dwie grupy – pierwsza składała się z dzieci 2–3-letnich, a druga – z 4–5-latków^[27]. Badacze poprosili dzieci o umieszczenie w pudełku liczby zabawek, którą przekazali dzieciom poprzez podanie liczebnika lub poprzez pokazanie liczby na palcach^[27]. W grupie dzieci 2–3-letnich w obu przypadkach dzieci miały duże problemy z wykonaniem zadania^[27]. W grupie dzieci starszych okazało się, że dzieci lepiej radziły sobie z wykonaniem polecenia, gdy liczba została im podana w formie liczebnika^[27]. Gdy dzieci proszono o określenie liczby zabawek w pudełku, ponownie okazało się, że dzieciom łatwiej jest posługiwać się liczebnikami, niż palcami^[27].

Okazuje się, że liczenie na palcach nie może zastąpić kodu werbalnego^[28]. Jeśli nie istnieje odpowiedni kod werbalny (np. nazwy liczebników), nie jest możliwe efektywne liczenie na palcach^[28]. Np. w amazońskim plemieniu Pirahã istnieją tylko nazwy: jeden, dwa i wiele^[28]. Przedstawiciele tego plemienia wspomagają się liczeniem na palcach, lecz nawet wtedy popełniają mnóstwo błędów rachunkowych, nawet w przypadku zbiorów mniejszych niż 5-elementowe^[28].

Podobnie osoby głuchonieme, które wykształtowały swój własny język migowy, liczą na palcach w sposób bardzo niedokładny^[28].

Istnieją sprzeczne wyniki badań na temat związku kolejności używania palców a kolejności liczb^[2]. W jednych publikacjach (np. H. Wiese) za korzystne uważa się używanie palców zawsze w tej samej kolejności. Według tych poglądów utrwala to wiedzę na temat kolejności liczb^[25]. W innych pracach (np. prof. dr. hab. Zbigniewa Semadeniego) zwraca się uwagę na korzyści płynące z kształcenia umiejętności liczenia na palcach w różnej kolejności – np. reprezentacją liczby dwa wcale nie muszą być zawsze wyciągnięty kciuk i palec wskazujący, może to być np. palec wskazujący i serdeczny, lub dowolna inna kombinacja dwóch palców^[12]. Semadeni uważa, że narzucanie sposobu liczenia na palcach w ustalonej kolejności utrudnia przechodzenie do poziomu operacyjnego według teorii Piageta^[12].

Podczas wykonywania obliczeń matematycznych kluczowe jest poprawne działanie pamięci roboczej^[29]. Jej zadaniem jest:

• przechowywanie liczb, na których wykonywane są działania,
• przywoływanie z pamięci długotrwałej, reguł wykonywania działań (np. kolejność wykonywania działań),
• przechowywanie wyników cząstkowych^[c][29].

U dzieci często zdarza się, że ilość informacji, którą muszą przechować w pamięci roboczej w celu rozwiązania zadania, przekracza pojemność i czas przechowywania w tej strukturze pamięciowej^[29]. Dzieci dysponujące niewielką pojemnością pamięci roboczej mogą stosować strategie jej odciążania, np. zapisywanie wyników cząstkowych na papierze lub wręcz monotonne przeliczanie wszystkiego po kolei na palcach^[29][30].

Okazuje się, że na zakres pamięci roboczej ma wpływ długość liczebników – u dzieci posługujących się językiem chińskim (liczebniki w tym języku są znacznie krótsze niż w języku angielskim) zakres pamięci roboczej jest większy, a dzieci te podczas liczenia mniej wspomagają się palcami^[31][29].

Podczas wykonywania operacji arytmetycznych przekraczających liczbę 10 dzieci bardzo często mylą się dokładnie o 5^[15][16]. Ma to nawet w literaturze specjalistycznej swoją nazwę: split 5 errors^[16][15]. Przykładowo – dla zadania ${\displaystyle 8+9=?}$ częstymi odpowiedziami będą: 12, 17, 22, a split 5 errors będą jeszcze wyraźniej widoczne dla większych liczb, np. ${\displaystyle 38+43=?}$ ^[16].

Istnieją dwa źródła tego błędu:

1. W przypadku gdy split 5 error wystąpi podczas rozwiązywania łatwego problemu, jego źródłem jest błąd w przywoływaniu wyników z pamięci długotrwałej^[15][16];
2. W przypadku gdy split 5 error wystąpi podczas rozwiązywania złożonego problemu, jego źródłem jest błąd w monitorowaniu liczby „pełnych dłoni” (uczeń gubi się już w tym ile już „ma” całych piątek, pełnych dłoni)^[16][15].

Dzieci same próbują eliminować split 5 errors, tworząc własne, różnorodne strategie, jak np. dotykanie lub zamykanie jednej dłoni^[32][15].

Dyskalkulia

Osoby cierpiące na dyskalkulię mają znaczne deficyty w zakresie elementarnych procesów umysłowego przetwarzania liczb^[29]. Dyskalkulicy popełniają ogromne ilości błędów podczas liczenia na palcach^[29]. Mają duże problemy z opanowaniem metody liczenia na palcach, a gdy już ją opanują – stosują ją w bardzo nieoptymalny sposób^[29]. Mając dodać do siebie dwie duże liczby, np. ${\displaystyle 35+23=?,}$ nie potrafią zastosować strategii dodawania osobno dziesiątek i jedności^[29]. Dzieci cierpiące na dyskalkulię do liczby 35 będą na palcach dodawać po kolei 23 jedności, co jest strategią bardzo czasochłonną i narażoną na liczne pomyłki, więc sam wynik często również będzie nieprawidłowy^[29]. Wraz z dyskalkulią może występować także dyspraksja i agnozja palców, co bardzo utrudnia wykorzystywanie palców do liczenia^[29]. Często jednak liczenie na palcach jest najlepszą dostępną dla tych dzieci strategią, umożliwiającą względnie poprawne wykonywanie obliczeń^[29]. Zabronienie liczenia na palcach osobom z dyskalkulią powoduje, że popełniają one jeszcze więcej błędów^[19].

Rozwojowy zespół Gerstmanna

Zespół Gerstmanna to zaburzenie towarzyszące lezjom w obszarze zakrętu kątowego półkuli dominującej, składające się z czterech podstawowych objawów:

• akalkulia,
• agrafia,
• agnozja palców ręki,
• zaburzenia rozpoznawania stron (lewa-prawa)^[33].

Rozwojowy zespół Gerstmanna ma te same objawy, lecz jego źródłem nie są lezje i nie dotyczy on wyłącznie półkuli dominującej^[34]. W zaburzeniu tym występują deficyty zarówno w zakresie gnozji palców, jak i w zakresie liczenia, co przez naukowców jest interpretowane jako dowód na nierozłączny związek między liczeniem na palcach, a liczeniem w ogóle^[34].

Zespół Gerstmanna sprawił, że już w pierwszej połowie XX wieku po raz pierwszy został dostrzeżony związek między gnozją palców, a ogólnymi zdolnościami liczenia^[20].

Liczenie na palcach u dzieci niewidomych lub niemających palców

Istnieją sprzeczne wnioski na temat tego, czy liczenie na palcach jest czynnością spontaniczną, czy ukształtowania drogą modelowania^[2]. Np. Butterworth w swojej publikacji stwierdza, że liczenie na palcach jest czynnością spontaniczną, powszechną w większości kultur^[11]. Spontaniczność liczenia na palcach potwierdza także przypadek dziewczynki urodzonej bez przedramion, wykorzystującej do liczenia swoje fantomowe palce, co zostało opisane w 1965 roku^[35][3]. Teorii o spontaniczności liczenia na palcach zaprzeczają badania na dzieciach niewidomych^[3]. W jednym z badań porównano dzieci widzące z niewidomymi – dzieci niewidzące stosowały liczenie na palcach o wiele rzadziej niż widzące^[36]. Mimo tego, dzieci w obu grupach osiągały podobną poprawność obliczeń^[36]. Dzieci niewidzące miały niższe wyniki tylko wtedy, gdy zadania silnie angażowały zasoby werbalnej pamięci roboczej^[36]. Zatem nie u wszystkich dzieci liczenie na palcach pojawia się spontanicznie oraz nie jest ono warunkiem koniecznym rozwoju umiejętności matematycznych^[3].

Osoby niewidome, korzystając z liczenia na palcach, nie korzystają z powtarzalnych układów palców (tzn. te same liczby w różnych przypadkach reprezentują innymi układami palców)^[36].

Gnozja palców to zdolność do określania, który palec jest w danym momencie stymulowany, umiejętność nazywania palców oraz sprawnego posługiwania się nimi^[34]. Sprawność gnozji palców koreluje z poziomem osiągnięć matematycznych^{[34][37][38][39][40][41]}. W licznych badaniach na dzieciach w wieku 5–7 lat wykazano, że dzieci osiągające ponadprzeciętne wyniki w zakresie gnozji palców mają również wysokie umiejętności matematyczne, a gnozja palców jest jednym z najlepszych znanych predyktorów osiągnięć z matematyki, w perspektywie czasowej od 1 do 3 lat^{[34][37][38][39][40][41]}. Moc predykcyjna testów gnozji palców jest specyficzna dla osiągnięć matematycznych – testy te nie pozwalają przewidywać osiągnięć w zakresie czytania i pisania^{[34][37][38][39][40][41]}. Gnozja palców jest lepszym predyktorem zdolności matematycznych niż gnozja całego ciała, symultagnozja lub grafestezja^[34][39]. Gnozja palców ma również większą moc predykcyjną dla późniejszych osiągnięć matematycznych niż ogólne wskaźniki rozwoju, takie jak np. szybkość przetwarzania informacji^[34][39].

Wykazano również, że dzieci sprawnie posługujące się palcami (np. z racji gry na pianinie czy gitarze) lepiej radzą sobie z rozwiązywaniem zadań matematycznych^[30][42]. W roku 2008 opublikowano również wyniki eksperymentu, w którym grupę dzieci z niskimi wynikami gnozji palców, poddano intensywnemu treningowi tej gnozji^[30][42]. W rezultacie zwiększyły swoje zdolności gnozji palców, subityzowania oraz w niewielkim stopniu także umiejętności matematyczne^[30][34]. Trening w zakresie gnozji palców musi być bardzo intensywny, aby przełożył się na umiejętności matematyczne^[30][42].

Gnozję palców bada się zazwyczaj w następujący sposób:

• dłoń osoby badanej znajduje się poza zasięgiem jej wzroku, a badacz dotyka wybranego palca osoby badanej; jej zadaniem jest określenie, który palec został dotknięty^[34];
• dłoń osoby badanej znajduje się poza zasięgiem jej wzroku, a badacz dotyka po kolei dwa wybrane przez siebie palce osoby badanej; jej zadaniem jest określenie, czy dwukrotnie został dotknięty ten sam palec, czy dwa różne palce^[34].

Istnieją dwie główne teorie próbujące wyjaśniać wzajemne powiązanie między gnozją palców a umiejętnościami matematycznymi^[20]:

• Teoria funkcjonalistyczna: wedle tej teorii gnozja palców jest pierwotna wobec poznania matematycznego^[20]
  • Hipoteza przesunięcia funkcji neuronów: neurony przystosowane ewolucyjnie do liczenia na palcach mogą na skutek egzaptacji przyjąć nowe role (abstrakcyjne poznanie matematyczne), zachowując jednocześnie pierwotne funkcje (liczenie na placach)^[20];
  • Hipoteza recyklingu neuronów: obwody neuronalne wykształcone do zdolności subityzowania na skutek rozwoju kulturowego gatunku ludzkiego zaczęły być wykorzystywane do arytmetyki^[20];
• Teoria lokalizacjonistyczna: wedle tej teorii za gnozję palców i za poznanie matematyczne odpowiadają inne obwody neuronalne, lecz są zlokalizowane tak blisko siebie, że są zasilane przez te same naczynia krwionośne^[20].

Związek między gnozją palców i liczeniem w pamięci potwierdzają także badania doświadczalne^[43]. Przebadano osoby dorosłe o przeciętnych umiejętnościach matematycznych, nie mające żadnych dysfunkcji^[43]. Okazało się, że wykonywanie przez te osoby działań arytmetycznych związanych z liczeniem (a nie przywoływaniem wyników z pamięci) było mniej skuteczne, gdy eksperymentator poruszał w tym czasie palcami osób badanych^[43].

Co więcej, odkryto także, że w czasie biernego obserwowania liczb jednocyfrowych rośnie aktywacja kory motorycznej, odpowiedzialnej za ruchy palców podczas liczenia na palcach^[43][44]. Zaobserwowany efekt zależny był od indywidualnych zwyczajów liczenia na palcach^[43][44]. U osób zaczynających liczenie od lewej ręki podczas prezentacji małych liczb rosła aktywacja prawej kory motorycznej, zaś u osób zaczynających od prawej ręki – aktywacja lewej kory motorycznej^[43][44]. Wykazano także zmiany pobudliwości korowej dla mięśni dłoni podczas liczenia – ponownie strona, po której obserwowano zwiększoną pobudliwość, zależna była od wielkości liczb wykorzystywanych w działaniach oraz od strony, po której osoby badane zwyczajowo zaczynały liczenie na palcach^[45].

Przedmotoryczna teoria liczenia

Przedmotoryczna teoria liczenia to potwierdzona doświadczalnie teoria stwierdzająca, że wykonywanie działań arytmetycznych w pamięci polega na symulowanych, choć niewykonywanych fizycznie ruchach palców dłoni, o czym świadczy pobudzenie kory motorycznej podczas liczenia^[45]. Efekt ten występuje zarówno u dzieci, jak i u dorosłych^[45].

Można wyróżnić trzy podstawowe strategie używania palców do obliczania sumy dwóch liczb naturalnych^[46]:

1. count-all: strategia ta polega na przedstawieniu każdej z liczb przy pomocy prostowania palców, a następnie zliczenie wszystkich wyprostowanych palców^[46]. Przykładowo, mając dodać 2 do 3, na jednej dłoni uczeń prostuje dwa palce, a na drugiej – 3, a następnie zlicza po kolei wyprostowane palce, co daje w wyniku liczbę 5^[46].
2. count-from-first-addend: strategia ta polega na rozpoczęciu liczenia od pierwszego składnika sumy, a następnie wymieniania odpowiedniej liczby kolejnych liczb (prostując przy tym palce)^[46]. Przykładowo, mając wykonać działanie ${\displaystyle 3+4}$ uczeń policzy: trzy, cztery, pięć, sześć, siedem^[46].
3. count-min: strategia ta opiera się na tej samej zasadzie, co count-from-first-addend, z tą różnicą, że dodatkowo znajdowany jest składnik większy w sumie i to od niego rozpoczyna się liczenie^[17]. Przykładowo, mając wykonać działanie ${\displaystyle 3+4}$ uczeń zauważa, że 4 jest większe od 3 i liczy: cztery, pięć, sześć, siedem^[17].

Dzieci, wraz z wiekiem, samodzielnie odkrywają i automatycznie zaczynają stosować strategię count-min, która jest strategią optymalną^[17]. Nie da się określić jednoznacznie wieku, w którym dzieci rozpoczynają stosowanie tej strategii, ponieważ badania pokazują duże rozbieżności wieku^[17]. Często zdarza się również, że strategia ta jest używana równolegle z innymi, mniej skutecznymi strategiami^[17].

Zjawisko liczenia na palcach przez długi czas nie spotykało się z zainteresowaniem dydaktyków matematyki^[47]. Do lat 70. XX wieku uważano, że mentalna arytmetyka jest oparta wyłącznie na abstrakcyjnych, symbolicznych manipulacjach^[47]. Liczenie na palcach było uznawane jedynie za przejściowy etap w rozwoju kompetencji matematycznych dzieci^[42]. Dopiero wyniki badań z ostatnich 20 lat wskazują na ogromne znaczenie liczenia na palcach dla poznania matematycznego u dzieci i u dorosłych^[2]. Badania te prezentują różnorodną metodologię, jak np. ^[2]:

• przezczaszkowa stymulacja magnetyczna^[26],
• neuroobrazowanie^[48][49][50],
• neuropsychologia poznawcza^[39][40].

W roku 2011 zagadnieniu liczenia na palcach poświęcono cały specjalny numer czasopisma naukowego „Frontiers in Psychology”^[5].

Istnieje hipoteza o anatomicznym pochodzeniu liczebników^[51]. Istnieje wiele dowodów ją potwierdzających^[52]. Tworzenie się liczb rozpoczęło się liczeniem na palcach, a wraz z rozwojem ludzkości temu procesowi zaczęły towarzyszyć wypowiadane nazwy, które później funkcjonowały już niezależnie^[25][52]. Liczenie na palcach pojawiało się w filogenezie gatunku ludzkiego bardzo wcześnie^[52]. Pierwsze dowody tego zjawiska pochodzą sprzed 27 tysięcy lat – w jaskini Cosquer (Francja) maczane w pigmencie palce ówcześni ludzie odciskali na ścianie^[52]. Układy te były bardzo regularne, zawsze rozpoczynały się od kciuka^[52].

U wielu pierwotnych plemion wyróżnionymi liczebnikami bardzo często są liczby 2 i 5 (dwie ręce, pięć palców u ręki)^[51]. W niektórych systemach liczebników zdarza się także wyróżnienie liczby 10 i 20 (łączna liczba palców u rąk, łączna liczba palców u wszystkich kończyn)^[51]. Zatem pochodną systemu liczbowego z bazą 5 jest system dziesiętny, ale też dwudziestkowy system liczbowy. W nahuatl, języku Azteków, wyróżnione liczby to 5 (6 jest konstruowane jako „pięć-jeden”), 10 (11 to „dziesięć-jeden”), 15, 20 (30 to „jedna dwudziestka-dziesięć”, 40 to „dwie dwudziestki”, a 100 to „pięć dwudziestek”) i 400^[53]. Ślady wyróżniania 20 występowały też w języku angielskim, gdzie liczbę tę określano jako score, a niektóre liczby były wyrażane jako jej wielokrotności (40 – two scores, 240 – twelve scores)^[54].

Sztandarowym przykładem potwierdzającym hipotezę anatomicznego pochodzenia liczebników są nazwy liczebników u Tamanków (Indianie z Wenezueli)^[51].

Również w kilku innych językach nazwy wyraźnie oznaczają pewne czynności związane z liczeniem na palcach^[52]. Przykładowo, w indiańskim języku dene-dinje, nazwy liczb od 1 do 5 pochodzą bezpośrednio od reprezentujących je układów palców (np. liczebnik odpowiadający liczbie 4 oznacza dosłownie końcowy jest zgięty)^[52]. W nigero-kongijskim języku ali liczebnik 5 brzmi moro (‘ręka’), a 2 buna, natomiast 10 jest ich połączeniem: mbuna^[56]. W papuaskim języku bugilai liczebniki mają pochodzenie anatomiczne: 1 tarangesa ('mały palec lewej ręki’), 2 metakina (‘następny palec’), 3 gingimetakina (‘palec środkowy’), 4 topea (‘palec wskazujący’), 5 manda (‘kciuk’)^[56][57], 6 gaben (‘nadgarstek’), 7 trankgimbe (‘łokieć’), 8 podei (‘ramię’), 9 ngama (‘lewa pierś’), 10 dala (‘prawa pierś’)^[57].

Ślady liczenia na palcach dłoni i stóp widać do dziś w bardzo wielu językach europejskich^[d], poprzez wyróżnienie w nich liczby 20^[51], np:

W bardzo wielu językach również słowo określające liczbę pięć wywodzi się od słowa pięść^[52]. Według niektórych badaczy również powszechnie stosowany dziesiątkowy system pozycyjny wywodzi się od tradycji liczenia na palcach (10 to liczba palców u obu rąk)^[52]. Fuzja systemu piątkowego, ewentualnie dziesiętnego, z dwunastkowym mogła z kolei zaowocować popularnym w kulturach Mezopotamii systemem z bazą 60^[58].

Georges Ifrah stawia hipotezę, że nawet system dwunastkowy, stosunkowo popularny, z tuzinem jako bazą, również może mieć podłoże anatomiczne, gdyż cztery palce jednej dłoni przeciwstawne kciukowi mają dwanaście członów i do dwunastu można liczyć używając jedynie końcówki kciuka dotykającej ich po kolei^[59].

Nie tylko dzieci, ale również osoby dorosłe w wielu przypadkach korzystają z liczenia na palcach^[60]. Odciążają w ten sposób pamięć roboczą oraz kontrolują poprawność, np. podczas wymieniania członków dalszej rodziny, albo wykonywania obliczeń na kalendarzu^[60].

Kolejność liczenia na palcach

W większości krajów zachodnich (jak np. USA, Kanada, Wielka Brytania, Niemcy, Holandia, Hiszpania) średnio ok. 68% osób rozpoczyna liczenie od kciuka lewej ręki, np. w Szkocji jest to 66%^[61]. Natomiast we Włoszech i Belgii nie wykazano preferencji żadnej ręki^[61]. W krajach Bliskiego Wschodu istnieje preferencja prawej ręki – 64% badanych rozpoczynało liczenie od małego palca prawej ręki^[61]. W północnej Afryce liczenie rozpoczyna się od palca wskazującego^[59].

Natomiast we wszystkich krajach zauważono, że większość badanych podczas liczenia stosuje kontynuację anatomiczną, a nie przestrzenną – tzn. jeśli dla badanego liczba 1 to kciuk lewej ręki, to liczba 6 to kciuk prawej ręki, a nie mały palec prawej ręki (co byłoby zgodne z kolejnością przestrzenną)^[61].

Sposób liczenia na palcach

W zdecydowanej większości kultur liczy się na palcach w ten sposób, że po kolei prostuje się kolejne palce^[62]. Ale np. w Japonii robi się to na odwrót – zaczyna się od otwartej dłoni, a następnie zgina po kolei kolejne palce^[62]. Sposoby liczenia na palcach w różnych kulturach przedstawione są na ilustracjach poniżej.

Niemcy, Francja^[63]

1

2

3

Japonia^[63]

1

2

3

Chiny^[63]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 (I sposób)

10 (II sposób)

Chiny i Japonia (II sposób)^[63]

1

2

3

Filipiny^[63]

1

2

3

Indie, Pakistan, Bangladesz^[63]

1

2

3

Starożytny Rzym^[63]

1

2

3

Liczenie a pokazywanie liczb

W większości kultur istnieje różnica między liczeniem na palcach, a pokazywaniem liczb na palcach^[62]. Gdy osoby miały policzyć ile dni zostało im do końca urlopu, zaczynały liczyć od kciuka^[62]. Gdy miały w głośnym barze zamówić np. dwa piwa, zaczynały od palca wskazującego^[62]. Wyjątek stanowili Niemcy, ponieważ w obu przypadkach zaczynali od kciuka^[62].

Palców obu rąk wystarcza do policzenia do dziesięciu^[64]. Jedną z technik zwiększenia tej liczby jest nadanie różnych wartości palcom różnych dłoni^[64]. Do pięciu liczy się wyciągając kolejne palce lewej ręki^[64]. Wtedy zagina się palec prawej ręki i zaczyna liczenie od sześciu na lewej ręce^[64]. Po dojściu do dziesięciu zagina się kolejny palec prawej ręki^[64]. To pozwala na liczenie do 25^[64]. Technikę tę stosowano w różnych regionach Afryki, Indii czy Oceanii^[64]. Jeżeli za podstawę przyjmie się nie liczenie palców, ale ich członów, łatwo jest doliczyć do 12 na jednej dłoni (kciuk dotyka kolejnych członów czterech pozostałych palców)^[65]. Zaginanie palców drugiej ręki po dojściu do końca bazy daje iloczyn 5·12, a więc pozwala liczyć do 60. System ten spotykany bywał w różnych regionach południowej Azji^[65]. Gdy liczyć człony u palców obu rąk, można dojść do 28. Gdy zaś kość I śródręcza potraktować jak nasadowy człon kciuka, do 30^[66]. W Chinach opracowano bardziej skomplikowany system podziału palców do liczenia^[67]. Ponumerowano nie tylko człony palców, ale dodatkowo podzielono je na części lewą, prawą i środkową^[67]. W ten sposób jeden palec może obsługiwać liczby 1-9, drugi 10-90 i tak dalej, aż do kciuka, na którym liczy się dziesiątki tysięcy, a przechodząc na kolejną rękę można liczyć miliardy^[67].

Liczenie na palcach i ich członach w historii

Do początku XX wieku w krajach Orientu – od Maghrebu po Mongolię – podczas targowania się kontrahenci, chcąc ukryć przed obserwatorami negocjowaną cenę, przykrywali dłonie chustką i ściskali nawzajem palce^[68]. Ściśnięcie palca wskazującego oznaczało 1, ściśnięcie naraz palca wskazującego i środkowego oznaczało 2 i tak dalej do całej dłoni, czyli 5^[68]. Wyższe liczby tworzyła kombinacja, np. 6 to dwukrotne ściśnięcie palców wskazującego, środkowego i serdecznego (2·3), a 7 to ściśnięcie ręki bez kciuka (4) i następnie palców wskazującego, środkowego i serdecznego (3)^[68]. Wymagało to założenia szacunkowej wartości towaru, aby uścisk mógł oznaczać 1, 10, 100 itd.^[68] Liczenie do 28 na członach palców było stosowane w Chinach do wyznaczania cyklu miesiączkowego lub odchyleń od niego, a przez Bedę Czcigodnego do wyznaczania cyklu 28 lat związanych z określaniem lat przestępnych^[69]. Ten sam mnich obliczał 19-letni cykl Metona przez dodanie liczby członów palców i paznokci jednej dłoni (14 + 5)^[69]. Kombinacja tych cykli pozwalała tworzyć tablice paschalne^[69]. Liczenie do trzydziestu na stawach palców i pierwszej kości śródręcza, a potem dodanie trzech bywa wykorzystywane przez muzułmanów w razie braku 33-paciorkowego islamskiego różańca^[70].

W krajach Europy i Bliskiego Wschodu funkcjonował system liczenia na palcach, w którym jednostki wyraża się przez zginanie palców małego, serdecznego i środkowego, dziesiątki – wskazującego i kciuka, setki – małego, serdecznego i środkowego na drugiej ręce i tysiące – wskazującego i kciuka drugiej ręki^[71]. W ten sposób można liczyć do 99 na palcach jednej ręki i 9 999 dwóch rąk^[71]. System ten znany był w Starożytnym Rzymie, a pewne podobieństwa można znaleźć w jeszcze starszych malowidłach staroegipskich^[71]. Następnie przejęła go średniowieczna arytmetyka zachodnia i islamska^[71]. Znajomość tego systemu była elementem wykształcenia, a nawiązania do układu palców i odpowiadających im liczb pojawiały się w ówczesnej literaturze^[71]. Stracił na popularności po upowszechnieniu się znajomości cyfr arabskich i rachunku przy ich użyciu^[71].

Mnożenie liczby jednocyfrowej przez dziewięć

Algorytm

Numerujemy swoje palce po kolei od lewego kciuka do prawego kciuka, nadając im kolejne numery od 1 do 10^[72]. Chcąc pomnożyć liczbę ${\displaystyle 9}$ przez dowolną liczbę ${\displaystyle n}$ ze zbioru ${\displaystyle \{1,2,\dots ,10\},}$ wystarczy zgiąć palec o numerze ${\displaystyle n}$ ^[72]. Liczba palców znajdujących się na lewo od zgiętego palca to liczba dziesiątek, a liczba palców znajdujących się na prawo od zgiętego palca, to liczba jedności^[72].

Przykłady

${\displaystyle 9\cdot 4=3\cdot 10+6=36}$

${\displaystyle 9\cdot 8=7\cdot 10+2=72}$

Dowód poprawności algorytmu

Niech ${\displaystyle n\in \{1,2,\dots ,10\}}$ będzie ustaloną liczbą^[72]. Zauważmy, że:

${\displaystyle 9\cdot n=10\cdot n-n=(10\cdot (n-1)+10)-n=(10\cdot (n-1))+(10-n),}$

co odpowiada właśnie podanej metodzie liczenia na palcach^[72]. q.e.d.

Mnożenie dwóch liczb ze zbioru ${\displaystyle \{6,7,8,9,10\}}$

Algorytm

Metoda ta zakłada znajomość tabliczki mnożenia w zakresie od 0 do 4^[72]. W obu dłoniach numerujemy palce zaczynając od kciuka, nadając mu numer 6, a kolejnym palcom – kolejne numery^[72]. Wybieramy teraz dwie liczby, które będziemy chcieli przez siebie przemnożyć: ${\displaystyle a,b\in \{6,7,8,9,10\}}$ ^[72]. Lokalizujemy na lewej dłoni palec o numerze ${\displaystyle a}$ i na prawej dłoni – palec o numerze ${\displaystyle b}$ i prostujemy te palce oraz wszystkie palce leżące na zewnątrz od nich^[72]. Sumujemy liczbę wyprostowanych palców i mnożymy przez 10^[72]. Następnie mnożymy liczbę zgiętych palców w lewej ręce, przez liczbę zgiętych palców w prawej ręce^[72]. Otrzymaną liczbę dodajemy do wcześniej otrzymanego wyniku^[72].

Przykłady

${\displaystyle 9\cdot 8=7\cdot 10+1\cdot 2=70+2=72}$

${\displaystyle 7\cdot 6=3\cdot 10+3\cdot 4=30+12=42}$

Dowód poprawności algorytmu

Niech ${\displaystyle a,b\in \{6,7,8,9,10\}}$ będą ustalonymi liczbami, których iloczyn chcemy obliczyć^[72]. Wynik osiągany w podanym algorytmie to:

${\displaystyle 10[(a-5)+(b-5)]+(10-a)\cdot (10-b)}$ ^[72].

Zauważmy, że^[72]:

${\displaystyle {\begin{aligned}&10[(a-5)+(b-5)]+(10-a)\cdot (10-b)\\[1ex]={}&10(a+b-10)+(10-a)(10-b)\\[1ex]={}&10a+10b-100+100-10b-10a+ab\\[1ex]={}&a\cdot b.\end{aligned}}}$

q.e.d.

• Georges Ifrah: Dzieje liczby, czyli historia wielkiego wynalazku. Stanisław Hartman (tłum.). Wrocław: Zakład Narodowy im. Ossolińskich – Wydawnictwo, 1990. ISBN 83-04-03218-X.