Problem NP-trudny (NPH, ang.NP-Hard) – problem obliczeniowy, którego rozwiązanie jest co najmniej tak trudne, jak rozwiązanie każdego problemu z klasy NP (całej klasy NP).
Formalna definicja problemu NP-trudnego jest następująca:
Innymi słowy, problem NP-zupełny można rozwiązać w wielomianowym czasie algorytmem rozwiązującym problem NP-trudny przez wykorzystanie hipotetycznej procedury sprowadzającej problem NP-zupełny do problemu NP-trudnego jeżeli tylko daje się wykonać w wielomianowym czasie. NP-trudność można zdefiniować także w kategorii języków formalnych (a nie problemów). Do klasy problemów NP-trudnych mogą należeć problemy różnego typu: decyzyjne, przeszukiwania, optymalizacyjne.
Wraz z definicjami klas problemów NP i NP-zupełnych ma to następujące konsekwencje:
problem optymalizacyjny, którego wersja decyzyjna jest NP-zupełna, jest problemem NP-trudnym;
NP-trudny problem jest co najmniej tak trudny, jak problem
ponieważ jest problemem NP-zupełnym, toteż należy on do problemów najtrudniejszych w klasie NP, dlatego NP-trudny problem jest co najmniej tak trudny, jak cała klasa NP;
ponieważ wszystkie problemy NP-zupełne transformują się wzajemnie do siebie (zwykłą) transformacją wielomianową (nie Turinga), to również wszystkie problemy NP-zupełne można rozwiązać przez redukcję do NP-trudnego problemu
ponadto, jeśli to problemy NP-trudne nie mają rozwiązań w czasie wielomianowym, natomiast rozstrzygnięcie nie przesądza o wielomianowej rozwiązywalności wszystkich problemów NP-trudnych;
jeżeli problem należy do klasy NP, to jest też problemem NP-zupełnym (gdyż wraz z istniejącą transformacją Turinga spełnia definicję problemu NP-zupełnego).