Twierdzenia Sylowa
Twierdzenia Sylowa – twierdzenia teorii grup autorstwa Petera Sylowa[1] , czasem formułowane jako jedno twierdzenie Sylowa. Wynik ten jest częściowym odwróceniem twierdzenia Lagrange’a (rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu danej grupy), a zarazem uogólnieniem twierdzenia Cauchy’ego (o istnieniu podgrupy rzędu będącego liczbą pierwszą dzielącym rząd danej grupy).
Twierdzenia
Niech będzie liczbą pierwszą, która ponadto jest względnie pierwsza z liczbą naturalną
(tzn. największy wspólny dzielnik
). Niech
będzie grupą rzędu
gdzie
jest pewną nieujemną liczbą całkowitą; dowolną jej podgrupę rzędu
gdzie
nazywa się
-podgrupą tej grupy, przy czym podgrupy rzędu
nazywane są
-podgrupami Sylowa.
- Pierwsze twierdzenie Sylowa
- W grupie
istnieje (co najmniej jedna)
-podgrupa Sylowa.
- Drugie twierdzenie Sylowa
- Wszystkie
-podgrupy Sylowa grupy
są sprzężone, tzn. dla dowolnych
-podgrup Sylowa
grupy
istnieje taki automorfizm wewnętrzny
tej grupy (
), że
- Trzecie twierdzenie Sylowa
- Liczba
wszystkich
-podgrup Sylowa grupy
przystaje do jedynki modulo
tzn.
(czyli
jest dzielnikiem
tj.
).
Wnioski
Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że -podgrupa Sylowa jest jej maksymalną (w sensie zawierania)
-podgrupą, a jej indeks równy
nie jest podzielny przez
innymi słowy
Z drugiego twierdzenia wynika, że warunek
jest równoważny normalności (a nawet charakterystyczności)
-podgrupy Sylowa[a]. Z pierwszego i drugiego twierdzenia Sylowa wynika, że jeżeli
jest
-podgrupą Sylowa w
zaś
jest
-podgrupą normalną w
to istnieje taki element
dla którego
jest podgrupą normalną w
Jeżeli jest dzielnikiem rzędu
grupy
to w grupie tej istnieje element rzędu
(tzw. twierdzenie Cauchy’ego); ponadto
dzieli wtedy
Jeżeli każdy element
ma rząd postaci
to
jest
-grupą. Jeśli
oraz
gdzie
są pewnymi liczbami pierwszymi, to w
istnieje podgrupa normalna rzędu
jeżeli
nie dzieli ponadto
to grupa
jest cykliczna. W szczególności jeśli
nie dzieli
oraz
nie dzieli
to jedyną grupą rzędu
jest suma prosta grup cyklicznych o rzędach
i
Przykłady
Niech będzie grupą rzędu
Z twierdzeń Sylowa wynika, że grupa
zawiera
-podgrupę
rzędu
(przynajmniej jedną), a ponadto
oraz
skąd wynika, że
i normalność
Podobnie
oraz
skąd
-podgrupa Sylowa
rzędu
grupy
również jest normalna. Obie te podgrupy są cykliczne (a stąd przemienne), zaś ich suma prosta jest izomorficzna z
co oznacza, że również jest przemienna i jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) grupą rzędu
W podobny sposób można dokonać klasyfikacji grup rzędu
[2].
Rozumując w analogiczny sposób można dowieść, że jedynymi grupami rzędu (z dokładnością do izomorfizmu) są grupa cykliczna
oraz grupa symetryczna
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
- Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1972, s. 31-33.
- Jerzy Browkin: Teoria reprezentacji grup skończonych. Warszawa: PWN, 2010, s. 14-15. ISBN 978-83-01-16051-7.
- Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. Warszawa: Script, 2002, s. 89-96. ISBN 83-904564-9-4.
- Michaił Iwanowicz Kargapołow, Jurij Iwanowicz Mierzlakow: Podstawy teorii grup. Warszawa: PWN, 1989, s. 107-108. ISBN 83-01-08736-6.
- Jean-Pierre Serre: Reprezentacje liniowe grup skończonych. Warszawa: PWN, 1988, s. 88-89. ISBN 83-01-07908-8.
Dowody
- Peter Ludwig Mejdell Sylow. Théorèmes sur les groupes de substitutions. „Math. Ann.”. 5 (4), s. 584-594, 1872. DOI: 10.1007/BF01442913. (fr.).
- Giuseppina Casadio, Guido Zappa. History of the Sylow theorem and its proofs. „Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche”. 10 (1), s. 29–75, 1990. ISSN 0392-4432. MR1096350. (wł.).
- Rod Gow. Sylow's proof of Sylow's theorem. „Irish Mathematical Society Bulletin”, s. 55–63, 1994. ISSN 0791-5578. MR1313412.
- Florian Kammüller, Lawrence C. Paulson. A formal proof of Sylow's theorem. An experiment in abstract algebra with Isabelle HOL. „Journal of Automated Reasoning”. 23 (3), s. 235–264, 1999. DOI: 10.1023/A:1006269330992. ISSN 0168-7433. MR1721912.
- Michael Meo. The mathematical life of Cauchy's group theorem. „Historia Math.”. 31 (2), s. 196–221, 2004. DOI: 10.1016/S0315-0860(03)00003-X. ISSN 0315-0860. MR2055642.
- Winfried Scharlau. Die Entdeckung der Sylow-Sätze. „Historia Math.”. 15 (1), s. 40–52, 1988. DOI: 10.1016/0315-0860(88)90048-1. ISSN 0315-0860. MR931678. (niem.).
- William C. Waterhouse. The early proofs of Sylow's theorem. „Archive for History of Exact Sciences”. 21 (3), s. 279–290, 1980. DOI: 10.1007/BF00327877. ISSN 0003-9519. MR575718.
- Helmut Wielandt. Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen. „Archiv der Mathematik”. 10 (1), s. 401–402, 1959. DOI: 10.1007/BF01240818. ISSN 0003-9268. MR0147529. (niem.).
Linki zewnętrzne
- Eric W. Weisstein , Sylow Theorems, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-10].
Sylow theorems (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-10].