Dvojčlen

Stupňom dvojčlenu rozumieme exponent u vonkajších zátvoriek.

${\displaystyle (a+3)^{2}}$ , ${\displaystyle (4a-9b)^{2}}$ , ${\displaystyle (3(7x-5)-2y)^{2}}$ sú dvojčleny stupňa 2.

${\displaystyle (x-3y)^{3}}$ je dvojčlenom stupňa 3.

${\displaystyle (x^{2}+5y^{6})^{4}}$ je dvojčlenom stupňa 4.^[1]

Vzorce skráteného násobenia uľahčujú počítanie s mnohočlenmi druhého stupňa i stupňov vyšších. Najznámejšie sú vzorce týkajúce sa dvojčlenov druhého stupňa, ktoré pracovne nazveme prvým, druhám a tretím vzorcom. Obecný vzorec pre výpočet dvojčlenu n-t=ho stupňa nachádza uplatnenie vo formulácii a riešení obecnejších matematických problémov. Tri zmienené vzorce:

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ prvý vzorec

${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$ druhý vzorec

${\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}$ tretí vzorec

Prvé dva vzorce skráteného násobenia sä v zásade vzorcom jediným, stačí v druhom vzorci zapísať výraz ${\displaystyle (a-b)^{2}}$ v tvare ${\displaystyle (a+(-b))^{2}}$ a na tento tvar použíť prvý vzorec skráteného nasobenia. Dostávame:

${\displaystyle (a+(-b))^{2}=a^{2}-2a(-b)+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$

Realizácia počtových výkonov obvyklym spôsobom vyjasní, ako uvedené vzorce vznikli:

${\displaystyle (a+b)^{2}}$ zápis druhej mocniny ako súčinu

${\displaystyle =(a+b)\cdot (a+b)=}$ vynásobenie hodnôt v zátvorkách (roznásobenie zátvoriek)

${\displaystyle =a^{2}+ab+ab+b^{2}}$ sčítanie odpovedajúcich členov

${\displaystyle =a^{2}+2ab+b^{2}}$ prvý vzorec

Analogicky pre druhý vzorec:

${\displaystyle (a-b)^{2}}$ zápis druhej mocniny ako súčinu

${\displaystyle =(a-b)\cdot (a-b)=}$ vynásobenie hodnôt v zátvorkách

${\displaystyle =a^{2}-ab+ab+b^{2}}$ sčítanie odpovedajúcich členov

${\displaystyle =a^{2}-2ab+b^{2}}$ druhý vzorec

Tretí vzorec odvodíme následovne:

${\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=}$ vynásobenie hodnôt v zátvorkách

${\displaystyle =a^{2}-ab+ab-b^{2}=}$ sčítanie odpovedajúcich členov

${\displaystyle =a^{2}-b^{2}}$ tretí vzorec

Porovnanie prvého riadku výpočtu tretieho vzorca s druhými riadkami výpočtu prvého a druhého vzorca ukazuje všetky možné kombinácie znamienok v zátvorkách, ktoré sa môžu vyskytnúť.^[1]

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$

${\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}}$

Vyššie uvedené vzorce odvodíme podobne ako prví až tretí vzorec. O výraze na pravej strane uvedených rovností hovoríme ako o rozvoji dvojčlenu.

Činitele pred jednotlivými výrazmi ${\displaystyle a^{4}}$ ,${\displaystyle a^{3}b}$ ,${\displaystyle a^{2}b^{2}}$ , ${\displaystyle ab^{3}}$ , ${\displaystyle b^{4}}$ (jednočleny) nazývame binomické koeficienty (koeficienty dvojčlenu, napr. koeficient ${\displaystyle 1}$ pred ${\displaystyle a^{4}}$ , koeficient ${\displaystyle 4}$ pred ${\displaystyle a^{3}b}$ a pod.

Ak zapíšeme rozvoj dvojčlena ${\displaystyle (a+b)^{4}}$ so všetkými exponentami členov ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ , dostávame

${\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}b^{0}+4a^{3}b^{1}+6a^{2}b^{2}+4a^{1}b^{3}+a^{0}b^{4}}$

Všimnite si:

1. Najvyšší exponent základu ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ je rovný stupni dvojčlenu, v tomto prípade ${\displaystyle 4}$ .

2. Exponent základu ${\displaystyle a}$ sa v každom nasledujúcom sčítanci znižuje o ${\displaystyle 1}$ , od ${\displaystyle 4}$ v prvom sčítanci až na ${\displaystyle 0}$ v poslednom sčítanci.

3. Exponent základu ${\displaystyle b}$ sa v každom nasledujúcom sčítanci zvyšuje o ${\displaystyle 1}$ , od ${\displaystyle 0}$ v prvom sčítanci až na ${\displaystyle 4}$ v sčítanci poslednom.

Vzorce pre dvojčleny ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ dostaneme tak, že člen b nahradíme výrazom ${\displaystyle (-b)}$ . Pre dvojčlen tretieho stupňa dostávame

${\displaystyle (a-b)^{3}=(a+(-b))^{3}=a^{3}+3a^{2}(-b)+3a(-b)^{2}+(-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$

Podobne v prípade dvojčlena štvrtého stupňa

${\displaystyle (a-b)^{4}=(a+(-b))^{4}=a^{4}+4a^{3}(-b)+6a^{2}(-b)^{2}+4a(-b)^{3}+(-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}}$

Všimnime si, že členy obsahujúce nepárne mocniny základu (-b) majú záporné koeficienty, takže sa odčítajú.^[1]