மாறிசைக்குலம்

ஒரு வரிசைமாற்றம் ${\displaystyle A}$ -இன் குறி (Sign, Signature)என்பது +1 ஆகவோ -1 ஆகவோ வரையறுக்கப்படும். ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமாயிருந்தால் அதன் குறி -1. இரட்டைப்படையாயிருந்தால், +1. இதற்குக் குறியீடு: ${\displaystyle sgn(A)}$ அல்லது ${\displaystyle \epsilon (A).}$ இப்பொழுது சமச்சீர் குலம் ${\displaystyle S_{n}}$ க்கும் 2-ஆவது கிரம சுழற் குலம் ${\displaystyle C_{2}=\{+1,-1\}}$ க்கும் இடையில் ${\displaystyle \chi }$ என்ற ஒரு சீலக்கோப்பு (Character Map) உண்டாக்கலாம். அதாவது,

${\displaystyle \chi :S_{n}\rightarrow \{+1,-1\}}$

${\displaystyle A\mapsto sgn(A)}$

இது ஒரு காப்பமைவியம் (homomorphism).இக்காப்பமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) தான் ${\displaystyle n}$ பொருள்களின் மாறிசைக்குலம் . இதற்குக் குறியீடு: ${\displaystyle A_{n}}$ . இதனுடைய கிரமம்: ${\displaystyle n!/2.}$ இவ்வுட்குலத்தில் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் மட்டுமே உள்ளன; ${\displaystyle n}$ -கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் இதனில் அடக்கம்.

${\displaystyle S_{4}}$ இல் 24 உறுப்புகள் உள்ளன. ${\displaystyle A_{4}}$ இன் 12 உறுப்புகள் (அ-து, 4-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம்) பின்வருமாறு:

${\displaystyle e}$  ; ${\displaystyle (1)(234);(1)(243);}$

${\displaystyle (2)(341);(2)(314);(3)(124);(3)(142);(4)(123);(4)(132)}$

${\displaystyle (12)(34);(13)(24);(14)(23)}$ .

n ≤ 3 என்றால், என்றால்தான், ${\displaystyle A_{n}}$ ஒரு பரிமாற்றுக் குலம் ஆகும்

அதே போல், ${\displaystyle n=3}$ or ${\displaystyle n\geq 5}$ என்றால், என்றால் தான், ${\displaystyle A_{n}}$ ஒரு எளிமைக் குலம் (Simple Group).

குறிப்பிடத்தக்க விஷயம்: ${\displaystyle A_{5}}$ தான் பரிமாற்றாக் குலங்களில் மீச்சிறு எளிமைக்குலம். அதன் கிரமம் 60. இது இருபதுமுகிக் குலம் என்றும் சொல்லப்படும். நான்முகிக் குலம் என்று சொல்லப்படும் ${\displaystyle A_{4}}$ இல் {${\displaystyle (12)(34);(13)(24);(14)(23)}$ மற்றும் I} ஒரு இயல்நிலை உட்குலம் (normal subgroup) உள்ளபடியால் அது எளிமைக் குலமாகாது.

• சமச்சீர் குலம்