Ефект Джозефсона

1962 року аспірант Браян Джозефсон опублікував свою працю^[1], в якій передбачив два цікавих явища, які мали б спостерігатися в надпровідних тунельних контактах^[en]. Перше явище полягало в тому, що в надпровідному тунельному контакті може підтримуватися режим надпровідного струму (при цьому спад напруги на контакті дорівнює нулю). Воно називається стаціонарним ефектом Джозефсона. Якщо струм перевищує певне критичне значення, яке є характеристикою самого контакту, то на контакті з'являється ненульове падіння напруги і контакт стає джерелом високочастотного електромагнітного випромінювання. Це явище носить назву нестаціонарного ефекту Джозефсона.

Обидва ефекти було підтверджено експериментально в 1963-1965 роках^[2][3].

Подальші дослідження показали, що ефект, який було передбачено Джозефсоном для тунельних контактів, існує, якщо надпровідники з'єднані між собою слабким зв'язком ("weak link") будь-якої фізичної природи (нормальний метал, напівпровідник, надпровідник з меншою критичною температурою, геометричне звуження, малий отвір та ін.).^[4]

Носіями надпровідного струму є так звані куперівські пари — зв'язані стани двох електронів із протилежними спінами.Стан електронів у надпровіднику описується хвильовою функцією

${\displaystyle \Psi =\sum _{\alpha =1,2}{\sqrt {n_{s}}}e^{i\theta _{\alpha }}|\alpha \rangle }$

де ${\displaystyle n_{s}}$  — густина носіїв заряду (куперівських пар), індекси ${\displaystyle 1,2}$ відповідають двом надпровідникам, що утворюють контакт.Важливою характеристикою контакту є різниця ${\displaystyle \phi (t)=\theta _{2}(t)-\theta _{1}(t)}$ фаз хвильових функцій. Розв'язавши відповідне рівняння Шредінгера можна отримати математичні вирази для обох ефектів Джозефсона.

Стаціонарний ефект Джозефсона

Зв'язок між різницею фаз та надпровідним струмом ${\displaystyle I_{s}}$ встановлюється так:

${\displaystyle I_{s}=I_{c}\sin(\phi )\,}$ , (1)

де ${\displaystyle I_{c}}$  — критичний струм контакту, величина, яка характерна для кожного контакту й визначається його фізичними властивостями та геометрією. Важливою особливістю контакту є неможливість перевищення надпровідним струмом величини ${\displaystyle I_{c}}$ .

У загальному випадку функціональна залежність струму Джозефсона від різниці фаз між надпровідниками залежить характеристик слабкого зв'язку. Тільки в декількох окремих випадках струм - фазова залежність (СФЗ) має синусоїдальну форму (1). СФЗ визначається спектральним струмом ${\displaystyle Im[{I_{E}(\varphi )}]}$ , який містить інформацію про розподіл енергій Андрєєвських зв'язаних станів у контакті, характеристики матеріалу, геометрію контакту та електричний струм.^[4]

Стаціонарний ефект Джозефсона в мікроконтактах

Одним із прикладів джозефсонівських контактів між надпровідниками є балістичні мікроконтакти, характерний діаметр яких d набагато менше довжини вільного пробігу носіїв заряду l. У таких джозефсонівських зв'язках співвідношення струм – фаза ${\displaystyle I\left(\varphi \right)}$ й величина критичного струму ${\displaystyle {{I}_{c}}\left(T\right)}$ суттєво відрізняються від відповідних виразів для тунельного контакту. При ${\displaystyle l\gg d}$ й температурах ${\displaystyle 0\leq T\leq T_{c}}$ ( ${\displaystyle T_{c}}$ — критична температура надпровідника) струм виражається співвідношенням:

${\displaystyle I\left(\varphi \right)={\frac {\pi \Delta \left(T\right)}{e{{R}_{Sh}}}}\sin \left({\varphi }/{2}\;\right)\tanh \left[{\frac {\Delta \left(T\right)\cos \left({\varphi }/{2}\;\right)}{2T}}\right],}$

де ${\displaystyle R_{Sh}}$ — опір контакту в нормальному (не надпровідному) стані (опір Шарвина), ${\displaystyle \Delta \left(T\right)}$ — значення щілини надпровідника при даній температурі. При ${\displaystyle T\to 0}$ критичний струм чистого отвору вдвічі більший критичного струму з таким же нормальним опором, а залежність струму від фази

${\displaystyle I\left(\varphi \right)={\frac {\pi \Delta \left(0\right)}{e{{R}_{Sh}}}}\sin \left({\varphi }/{2}\;\right),\quad -\pi <\varphi <\pi ,}$

перетерплює стрибки при ${\displaystyle \varphi =\pm \pi }$ .^[5]

Нестаціонарний ефект Джозефсона

Зв'язок між падінням напруги на контакті ${\displaystyle V}$ та еволюцією різниці фаз, відоме як друге фундаментальне співвідношення Джозефсона, має такий вигляд:

${\displaystyle V(t)={\frac {\hbar }{2e}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$ ,

де ${\displaystyle \hbar }$  — стала Планка, фізична константа — ${\displaystyle {\frac {h}{2e}}}$ є квант магнітного потоку, а обернена до нього величина — константа Джозефсона.

Якщо струм, який протікає через контакт перевищує критичний, ${\displaystyle I_{c}}$ , то він складатиметься з двох компонент: надпровідного струму та струму звичайних носіїв заряду (електронів), останні, як відомо, течуть з опором та спричиняють падіння напруги.Еквівалентну електричну схему такого контакту прийнято називати шунтованою моделлю Джозефсонівського переходу. За допомогою деяких математичних перетворень можна отримати залежність частоти коливань напруги від струму, а саме:${\displaystyle \omega ={\frac {2e}{\hbar }}R{\sqrt {I^{2}-I_{c}^{2}}}}$ Якщо спробувати виміряти напругу, то вольтметр покаже середнє значення напруги за один період ${\displaystyle {\hat {V}}}$ , тоді підставивши значення цієї напруги у попередню формулу замість добутку ${\displaystyle R{\sqrt {I^{2}-I_{c}^{2}}}}$ можна отримати:

${\displaystyle 2e{\hat {V}}=\hbar \omega }$ ,

що має наступне трактування: різниця енергій куперівських пар у різних надпровідниках є ${\displaystyle 2e{\hat {V}}}$ , тобто, різниця енергій носіїв заряду, які переходять з одного надпровідника в інший, може бути скомпенсована лише випромінюванням фотона з відповідною частотою.Цей ефект має використання на практиці як перетворення струму в частоту.

Згідно з роботами МакКамбера^[6], Стюарта^[7] та Джонсона^[8], точковий контакт Джозефсона, на який подається деякий постійний струм ${\displaystyle I_{B}}$ можна представити у вигляді еквівалентного кола, що складається з трьох паралельно під'єднаних елементів:

• Конденсатора, чия ємність ${\displaystyle C}$  — це ємність контакта, а струм зміщення, що протікає через конденсатор, дорівнює

  ${\displaystyle I_{Q}=C{\frac {dV}{dt}}={\frac {C\hbar }{2e}}{\frac {d^{2}\phi }{dt^{2}}}}$ .

• Резистора з опором ${\displaystyle R}$ , що описує струм ${\displaystyle I_{R}}$ нормальних носіїв заряду через контакт, ${\displaystyle I_{R}=V/R}$ ;
• Ефективного «надпровідного елемента», через який протікає джозефсонівський надпровідний струм

  ${\displaystyle I_{s}=I_{c}\sin \phi }$ .

Рівняння Кірхгофа для такого кола має вигляд ${\displaystyle I_{B}=I_{Q}+I_{R}+I_{s}}$ . Воно ж переписується як

${\displaystyle {\frac {C\hbar }{2e}}{\frac {d^{2}\phi }{dt^{2}}}+{\frac {\hbar }{2eR}}{\frac {d\phi }{dt}}+I_{c}\sin \phi =I_{B}}$

Після введення безрозмірних часу ${\displaystyle t\to t\omega _{J}}$ , ${\displaystyle \omega _{J}={\sqrt {\frac {2eI_{c}}{C\hbar }}}}$ , коефіцієнту «дисипації» ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\omega _{J}RC}}}$ та зовнішнього струму ${\displaystyle \gamma =I_{B}/I_{c}}$ , вищенаведене рівняння, що описує часову еволюцію різниці фаз ${\displaystyle \phi (t)}$ , набуває безрозмірного вигляду

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{dt^{2}}}+\alpha {\frac {d\phi }{dt}}+\sin \phi =\gamma ~.}$

Резистивна модель дає можливість описання поведінки точкового контакту Джозефсона як дисипативної динамічної системи з розмірністю фазового простору два.

Ефект Джозефсона широко використовується в різних галузях, зокрема:

• для вимірювання магнітного поля з допомогою надпровідних квантових інтерферометрів;
• в метрології, для перерахунку частоти та напруги; зокрема оскільки частота визначається за допомогою цезієвого стандарту^[en], ефект Джозефсона використовується для визначення одиниці напруги, одного вольта (з 1 липня 2007 року це не є офіційним стандартом^[9]).
• для побудови логічних елементів квантових комп'ютерів (так звані Джозефсонівські кубіти).^[10]

• Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. Физика и применения. — М. : Мир, 1984. — 640 с.
• Лихарёв К. К. Введение в динамику джозефсоновских переходов. — М. : Наука, 1985. — 320 с.
• Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников. — М. : МЦНМО, 2000. — 416 с.