Ланцюговий комплекс
Ланцюговий комплекс — основне поняття гомологічної алгебри.
Ланцюговий комплекс
Ланцюговим комплексом називається послідовність модулів і гомоморфізмів
, що називаються граничними операторами або диференціалами
така що . Елементи
називаються n-мірними ланцюгами, елементи ядра
— n-вимірними циклами, елементи образа
— n-вимірними границями. З
випливає, що
(т.зв. напівточність). Якщо до того ж
, то такий комплекс називається точним.
Ланцюгові комплекси модулів над фіксованим кільцем утворюють категорію з мофізмами , де
послідовність морфізмів
, така що
комутує з диференціалом, тобто
.
Коланцюговий комплекс
Коланцюговий комплекс — поняття, двоїсте ланцюговому комплексу. Він визначається як послідовність модулів і гомоморфізмов
, таких що
Коцепной комплекс, як і ланцюговий, є напівточною послідовністю.
Властивості і поняття, пов'язані з коланцюговими комплексами, двоїсті аналогічним поняттям і властивостям ланцюгових комплексів.
Гомології і когомології
n-вимірна група гомологій ланцюгового комплексу
є його мірою точності в n-ому члені і визначається як
. Для точного комплексу
Аналогічно визначається n-вимірна група когомологій коланцюгового комплексу:
Приклади
Симпліційна гомологія
Нехай маємо симпліційний комплекс K.
Визначимо Cn(K) для натурального числа n вільну абелеву групу породжену n-симплексами комплекса K і граничне відображення:
Виконується властивість ∂² = 0, отже є ланцюговим комплексом; симпліційна гомологія
визначається:
Когомологія де Рама
Диференціальні k-форми на будь-якому гладкому многовиді M утворюють векторний простір, що позначається Ωk(M).Зовнішня похідна dk є відображенням з Ωk(M) в Ωk+1(M), і d 2 = 0, отже простори k-форм із зовнішньою похідною утворюють коланцюговий комплекс:
Гомологією цього комплексу є когомологія де Рама:
Гомоморфізми ланцюгових комплексів
Гомоморфізмом ланцюгових комплексів і
називається таке відображення
що наступна діаграма є комутативною:
Гомоморфізм ланцюгових комплексів індукує гомоморфізм їх груп гомологій.
Ланцюгова гомотопія
Ланцюгова гомотопія між гомоморфізмами комплексів
і
— гомоморфізм ланцюгових комплексів
і
ступеня +1 (тобто
), для якого
Для коланцюгових комплексів відповідна комутативна діаграма має вигляд.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Diagram_chain_homotopy.svg/450px-Diagram_chain_homotopy.svg.png)
Див. також
Література
- Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — Москва: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
- Маклейн С. Гомология, — Москва: Мир, 1966.
- Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — Москва: Мир, 1976.