Parallel o‘qlar teoremasi

Faraz qilaylik, massasi m boʻlgan jism tananing massa markazidan oʻtuvchi z oʻqi atrofida aylantirildi. Tananing bu oʻqqa nisbatan I_cm inersiya momenti bor. Parallel oʻq teoremasi shuni koʻrsatadiki, agar jism oʻrniga birinchi z′ parallel boʻlgan va undan d masofaga siljigan yangi oʻq atrofida aylansa, u holda yangi oʻqqa nisbatan inersiya momenti I boʻladi. tomonidan I_cm bilan bogʻliq

${\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+md^{2}.}$

Aniqki, d masofa z va z′ oʻqlari orasidagi perpendikulyar masofa.

Parallel oʻq teoremasi choʻzish qoidasi va perpendikulyar oʻq teoremasi bilan turli shakllar uchun inersiya momentlarini topish uchun qoʻllanilishi mumkin.

Chiqarish

Biz umumiylikni yoʻqotmagan holda, Dekart koordinata tizimida oʻqlar orasidagi perpendikulyar masofa x oʻqi boʻylab, massa markazi esa koordinata boshida joylashgan deb taxmin qilishimiz mumkin. z — oʻqiga nisbatan inersiya momenti keyin

${\displaystyle I_{\mathrm {cm} }=\int (x^{2}+y^{2})\,dm.}$

X oʻqi boʻylab massa markazidan D masofada joylashgan z′ oʻqiga nisbatan inersiya momenti.

${\displaystyle I=\int \left[(x-D)^{2}+y^{2}\right]\,dm.}$

Qavslar ochib chiqamiz,

${\displaystyle I=\int (x^{2}+y^{2})\,dm+D^{2}\int dm-2D\int x\,dm.}$

Birinchi hadi I_cm, ikkinchi hadi esa MD² aylanadi. Yakuniy hadda integral massa markazining x koordinatasiga koʻpaytiriladi – Bu nolga teng, chunki massa markazi boshlangʻichda joylashgan. Shunday qilib, tenglama quyidagicha boʻladi:

${\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+MD^{2}.}$

Tensorlarni umumlashtirish

Parallel eksa teoremasi inertsiya tensorini oʻz ichiga olgan hisob-kitoblarga umumlashtirilishi mumkin^[2]. I_ij jismning massa markazida hisoblangan inersiya tenzorini belgilaylik. Keyin yangi nuqtaga nisbatan hisoblangan J_ij inertsiya tensori

${\displaystyle J_{ij}=I_{ij}+m\left(|\mathbf {R} |^{2}\delta _{ij}-R_{i}R_{j}\right),}$

bu yerda ${\displaystyle \mathbf {R} =R_{1}\mathbf {\hat {x}} +R_{2}\mathbf {\hat {y}} +R_{3}\mathbf {\hat {z}} \!}$  — massa markazidan yangi nuqtaga siljish vektori, δ_ij — Kroneker deltasi.

Diagonal elementlar uchun (i = j boʻlganda) aylanish oʻqiga perpendikulyar siljishlar parallel oʻq teoremasining yuqoridagi soddalashtirilgan versiyasiga olib keladi.

Parallel oʻq teoremasining umumlashtirilgan versiyasini koordinatalarsiz yozuvlar shaklida quyidagicha ifodalash mumkin.

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} +m\left[\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} \right],}$

bu yerda E₃ — 3 × 3 identifikatsiya matritsasi va ${\displaystyle \otimes }$ tashqi manba hisoblanadi.

Parallel oʻq teoremasining keyingi umumlashtirilishi x, y va z oʻqlarining mos yozuvlar toʻplamiga parallel boʻlgan har qanday ortogonal oʻqlar toʻplamiga nisbatan inersiya tenzorini beradi, ular massa markazidan oʻtadi yoki oʻtmaydi^[2].

Parallel oʻqlar qoidasi D tekislik mintaqasi uchun maydonning ikkinchi momentiga (soha inersiya momenti) ham qoʻllaniladi:

${\displaystyle I_{z}=I_{x}+Ar^{2},}$

Bu yerda I_z — parallel oʻqga nisbatan D ning inersiya maydoni momenti, I_x — D ning markazga nisbatan inersiya maydoni, A — tekislik mintaqasining maydoni D, r — yangi oʻqdan masofa. oʻqi z tekislik mintaqasining markaziy qismiga D . D ning markazi bir xil zichlikka ega boʻlgan bir xil shakldagi fizik plastinkaning ogʻirlik markaziga toʻgʻri keladi.

Tekislikka parallel harakatlanishi cheklangan qattiq jismning massa xossalari uning massa markazi R=(x,y) bilan aniqlanadi. Bu tekislikda va uning tekislikka perpendikulyar boʻlgan R orqali oʻq atrofidagi qutb inersiya momenti I_R. Parallel oʻq teoremasi ixtiyoriy S nuqta atrofidagi inersiya momenti I_S va massa markazi R ga nisbatan I_R inersiya momenti oʻrtasidagi qulay munosabatni taʼminlaydi.

Eslatib oʻtamiz, R massa markazi xossaga ega

${\displaystyle \int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV=0,}$

bu yerda r jismning V hajmida integrallashgan. Planar harakatlanayotgan jismning qutb inersiya momentini har qanday mos yozuvlar nuqtasi S ga nisbatan hisoblash mumkin,

${\displaystyle I_{S}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {S} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {S} )\,dV,}$

Bu yerda S doimiy va r esa V hajm boʻyicha integrallashgan.

I_R inersiya momenti boʻyicha I_S inersiya momentini olish uchun S dan R massa markaziga d vektorni kiritamiz,

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{S}&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\,dV\\&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV+2\mathbf {d} \cdot \left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV\right)+\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\,dV\right)\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} .\end{aligned}}}$

Birinchi aʼzo — inersiya momenti I_R, ikkinchi aʼzo — massa markazining taʼrifi boʻyicha nolga teng, oxirgi belgi d — jismning umumiy massasi vektorning kvadrat kattaligiga koʻra. Shunday qilib,

${\displaystyle I_{S}=I_{R}+Md^{2},\,}$

Bu parallel oʻq teoremasi deb nomlanadi^[3].

Qattiq zarralar tizimining inertsiya matritsasi mos yozuvlar nuqtasini tanlashga bogʻliq^[4]. R massa markaziga nisbatan inertsiya matritsasi va boshqa S nuqtaga nisbatan inersiya matritsasi oʻrtasida foydali munosabat mavjud. Bu munosabat parallel oʻq teoremasi deb ataladi.

tomonidan berilgan mos yozuvlar nuqtasi S ga nisbatan oʻlchangan qattiq zarrachalar tizimi uchun olingan inertsiya matritsasi [I_S] ni koʻrib chiqaylik.

${\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-S][r_{i}-S],}$

bu yerda r _i zarracha P_i, i=1,…,n oʻrnini belgilaydi. Eslatib oʻtamiz, [r_i−S] — oʻzaro koʻpaytmani bajaradigan egri-simmetrik matritsa,

${\displaystyle [r_{i}-S]\mathbf {y} =(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {S} )\times \mathbf {y} ,}$

ixtiyoriy y vektor uchun.

U holda, R qattiq sistemaning massa markazi boʻlsin

${\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {S} )+\mathbf {S} =\mathbf {d} +\mathbf {S} ,}$

Bu yerda d - S mos yozuvlar nuqtasidan R massa markaziga vektor. Inertsiya matritsasini hisoblash uchun ushbu tenglamadan foydalanib,

${\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R+d][r_{i}-R+d].}$

buni olish uchun ushbu tenglamani ochib chiqamiz

${\displaystyle [I_{S}]=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)[d]+[d]\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[d][d].}$

Birinchi aʼzo — massa markaziga nisbatan inertsiya matritsasi [I_R]. Ikkinchi va uchinchi shartlar R massa markazining taʼrifi boʻyicha nolga teng,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=0.}$

Va oxirgi aʼzo tizimning umumiy massasi d dan tuzilgan qiyshaygan-simmetrik matritsa [d] kvadratiga koʻpaytiriladi.

Natijada parallel oʻq teoremasi,

${\displaystyle [I_{S}]=[I_{R}]-M[d]^{2},}$

Bu yerda d - S mos yozuvlar nuqtasidan R massa markaziga vektor^[4].

Egri-simmetrik matritsa uchun identifikatsiyalar

Parallel oʻq teoremasining formulalarini egri-simmetrik matritsalar va tenzor formulasidan foydalangan holda solishtirish uchun quyidagi identifikatsiyalar foydalidir.

[R] pozitsiya vektori R=(x,y,z) bilan bogʻlangan qiyshaygan simmetrik matritsa boʻlsin, keyin inertsiya matritsasidagi mahsulotga aylanadi

${\displaystyle -[R][R]=-{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}.}$

Ushbu mahsulot tashqi mahsulot [RR^T] tomonidan hosil qilingan matritsa yordamida identifikatsiyadan foydalanib hisoblanishi mumkin.

${\displaystyle -[R]^{2}=|\mathbf {R} |^{2}[E_{3}]-[\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}]={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&0&0\\0&x^{2}+y^{2}+z^{2}&0\\0&0&x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}x^{2}&xy&xz\\yx&y^{2}&yz\\zx&zy&z^{2}\end{bmatrix}},}$

bu yerda [E₃] — 3×3 identifikatsiya matritsasi.

Shuni ham eʼtiborga oling

${\displaystyle |\mathbf {R} |^{2}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} =\operatorname {tr} [\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}],}$

Bu yerda tr tashqi manba matritsasining diagonal elementlari yigʻindisini bildiradi, uning izi deb nomlanadi.