Тэарэма Гюйгенса-Штэйнера

Момант інерцыі, паводле азначэння:

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r'}}_{i})^{2}\,\!}$

Радыус-вектар ${\displaystyle {\vec {r'}}_{i}\,\!}$ можна распісаць як суму двух вектараў:

${\displaystyle {\vec {r'}}_{i}={\vec {r}}_{i}+{\vec {d}}\,\!}$ ,

дзе ${\displaystyle {\vec {d}}}$ — радыус-вектар адлегласці паміж старой і новай воссю вярчэння.Тады выраз для моманту інерцыі прыме від:

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}{\vec {d}}+\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {d}})^{2}\,\!}$

Выносячы за суму ${\displaystyle {\vec {d}}}$ , атрымаем:

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2}+2{\vec {d}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\!}$

Паколькі старая вось праходзіць праз цэнтр мас, то сумарны імпульс цела будзе роўны нулю:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}=0\,\!}$

Тады:

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\!}$

Адкуль і вынікае шуканая формула:

${\displaystyle J=J_{C}+md^{2}\,\!}$ ,

дзе ${\displaystyle J_{C}}$ — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела.

Момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго цэнтр і перпендыкулярна стрыжню, (назавём яе воссю ${\displaystyle C}$ ) роўны

${\displaystyle J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.}$

Тады паводле тэарэмы Штэйнера яго момант адносна адвольнай паралельнай восі будзе роўны

${\displaystyle J=J_{C}+md^{2}\,\!}$

дзе ${\displaystyle d}$  — адлегласць паміж шуканай воссю і воссю ${\displaystyle C}$ . У прыватнасці, момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго канец і перпендыкулярна стрыжню, можна знайсці паклаўшы ў апошняй формуле ${\displaystyle d=L/2}$ :

${\displaystyle J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.}$

Тэарэма Гюйнеса — Штэйнера дапушчае абагульненне на тэнзар моманту інерцыі, што дазваляе атрымліваць тэнзар ${\displaystyle \mathbf {J} _{ij}}$ адносна адвольнага пункта з тэнзара ${\displaystyle \mathbf {I} _{ij}}$ адносна цэнтра мас. Няхай ${\displaystyle \mathbf {a} }$  — зрушэнне ад цэнтра мас, тады

${\displaystyle \mathbf {J} _{ij}=\mathbf {I} _{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}),}$

дзе

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {\hat {x}} +a_{2}\mathbf {\hat {y}} +a_{3}\mathbf {\hat {z}} }$  — вектар зрушэння ад цэнтра мас, а ${\displaystyle \delta _{ij}}$  — сімвал Кронекера.

Як бачна, для дыяганальных элементаў тэнзара (пры ${\displaystyle i=j}$ ) формула мае від тэарэмы Гюйгенса — Штэйнера для моманту адносна новай восі.

• Момант інерцыі
• Спіс момантаў інерцыі