圓周率

上古以之為三，曰：「周三徑一」。劉徽作「割圓術」：「割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」^[一]其後，祖沖之作《綴術》，得其介乎三點一四一五九二六與三點一四一五九二七^[二]，後千年精度無逾之者。祖氏亦分之密率、約率。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五，是故密率${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$ 也。約率，圓徑七，圓周二十二，是故約率${\displaystyle {\frac {22}{7}}}$ 也。

泰西亦屢有疇人算之，古埃及人得三點一六。古希臘亞基米德得三又七分之一。迨微積分出，無窮數列生，疇人以此作算，一四二四年，得小數後十六位；一七六一年，朗伯證其為無理數；一七八九年，得一百四十位；一八七三年，謝克斯窮十五年之力，得七百五十三位；一八八二年，林德曼證其為超越數。

俟電腦生，一九四九年，馮諾曼以七十小時得二千零三十七位；一九八五年，疇人以拉馬努金算式得千萬位；一九八九年，十億位；二〇〇二年，萬億位，二〇一一年，十萬億位。

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan 1=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$ （大賢歐拉嘗證之）

（參見三角函數）