三面形
三面形（英語：Trigonal hosohedron、Triangular hosohedron或3-hosohedron[1]）是以三角形為基底的多面形，表示三個鑲嵌在球面上的球弓形，為球面三面體的一種[2]，由3個面、3條邊和2個頂點組成，在施萊夫利符號中利用{2,3}來表示[3]，其對偶多面體是三角形二面體。
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| 類別 | 多面形、均勻多面體、球面鑲嵌 |
|---|---|
| 對偶多面體 | 三角形二面體 |
| 數學表示法 | |
| 考克斯特符號 |     |
| 施萊夫利符號 | {2,3} |
| 威佐夫符號 | 3 | 2 2 |
| 性質 | |
| 面 | 3 |
| 邊 | 3 |
| 頂點 | 2 |
| 歐拉特徵數 | F=3, E=3, V=2 （χ=2） |
| 組成與佈局 | |
| 面的種類 | 二角形 |
| 頂點佈局 | 23 |
| 對稱性 | |
| 對稱群 | D3h, [2,3], (*223), 12階 |
| 旋轉對稱群 | D3, [2,3]+, (223), order 12 |
性質
三面形是一個退化的多面體，其無法擁有體積。三面形由3個二角形組成，每個頂點都是3個二角形的公共頂點。正三面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是3個正二角形的公共頂點，因此正三面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論，但可以視為一種正則地區圖。[3]
三面形具有 D3h, [2,3], (*223) 的對稱性和 D3, [2,3]+ 的旋轉對稱性，且階數為12，在考克斯特符號中用 表示。
皮特里三面形
三面形的皮特里多邊形是一種具有6條邊和6個頂點的退化扭歪多邊形[3]，其邊兩兩共用，六個頂點每三個互相共用。三面形的皮特里對偶由一個前述的六邊形組成，並且該六邊形在每個頂點的周圍，以正則地區圖的模式自我相鄰3次[5]，因此在施萊夫利符號中可以用{6,3}(1,1)來表示[3]。
三面形的皮特里對偶共由1個面、3條邊和2個頂點組成，可以視為一面體的一種，是一個可定向曲面[5]，作為正則地區圖可以具象化為一種環形多面體，在施萊夫利符號中表示為{6,3}1,0[7]。
 {6,3}1,0 由1個面、3條稜和2個頂點組成 (v:2, e:3, f:1) |
對偶多面體
三面形的對偶多面體為三角形二面體（Triangular dihedron或Trigonal dihedron），又稱為雙三角形（di-triangle[8]），是一種多邊形二面體，由2個三角形面、三條邊和三個頂點組成。期兩個三角形已背對背的方式互相連接，與截半三面形類似，但沒有像截半三面形那樣在邊與邊的連接處存在兩角形（三角形二面體截半的結果也是截半三面形）。[8]
正三角形二面體是指由兩個正三角形背對背貼合所形成的幾何體，由於其組成面皆為正多邊形，且所有邊等長、所有角等角，因此可以視為一種退化的正多面體，其在施萊夫利符號中以{3,2}表示，代表由2個施萊夫利符號表示為{3}的正三角形組成。[9]
做為一個球面鑲嵌，球面的正三角形二面體由2個球形三角形組成，其在球面的大圓上共用3個相同的頂點；球面正三角形二面體的每個正三角形面都恰好填滿了一個半球。這兩個球面正三角形在球面的大圓赤道上等距地分布。
三角形二面體的皮特里對偶為六邊形二面體半形[8][10]，即六邊形二面體的多面體半形，這意味著三角形二面體的皮特里多邊形為六邊形[8]，該六邊形的頂點兩兩共用，或可以是圍繞三角形兩圈構成的六邊形[10]。
截半三面形
截半三面形是指三面形經過截半變換後的結果，即三面形節去所有頂點至邊的中點。所形成的立體由2個三角形截面和3個二角形原始面組成。2個三角形面以類似多邊形二面體的方式貼合，而3個二角形則位於貼合邊上，圍繞三角形面一圈，類似於一串香腸串的樣式[11]，因此又稱為三角香腸面形（3-lucanicohedron）[12]。
截半三面形共由5個面、6條邊和3個頂點組成，在其5個面中有2個三角形面和3個二角形面，其3個頂點皆為2個二角形和2個三角形的公共頂點。由於截半三面形由兩種面組成（二角形和三角形），因此其不算是正則地區圖，僅能算做擬正則地區圖。截半三面形也是三角形二面體經過截半變換後的結果。[12]
截角三角形二面體
截角三角形二面體是一個與截半三面形類似的幾何體，其同樣有3個二角形面，但兩個三角形面變為兩個六邊形面，六邊形面同樣背對背貼合，3個二角形面交錯地分布在六邊形的邊上的貼和處，無二角形面的六邊形-六邊形貼和處則是直接貼合，因此其頂點圖變為兩個六邊形和一個二角形的公共頂點。
 截角三角形二面體 | 截半三面形 |
相關多面體
三面形是三角形二面體的對偶多面體[3]，因此與三角形二面體具有相同的對稱性，其可以衍生出一些相關的多面體：
| 對稱群：[3,2], (*322) | [3,2]+, (322) | ||||||||
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| | | | | | | |  | ||
| | | |  |  |  |  | |||
| {3,2} （章節） | t{3,2} （章節） | r{3,2} （章節） | 2t{3,2}=t{2,3} | 2r{3,2}={2,3} | rr{3,2} | tr{3,2} | sr{3,2} | ||
| 半正對偶 | |||||||||
 | | | | | | |  | ||
| |  | |  | | |  |  | ||
| V32 | V62 | V32 | V4.4.3 | V23 | V4.4.3 | V4.4.6 | V3.3.3.3 | ||
| 球面鑲嵌 | 歐式鑲嵌 仿緊空間 | 雙曲鑲嵌 非緊空間 | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ | iπ/λ |
| 一面形 | 二面形 | 三面形 | 四面形 | 五面形 | 六面形 | 七面形 | 八面形 | 九面形 | 十面形 | 十一面形 | 十二面形 | 無限面形 | 超無限面形 | |
| {2,1} | {2,2} | {2,3} |  {2,4} |  {2,5} |  {2,6} |  {2,7} |  {2,8} |  {2,9} |   {2,10} | {2,11} |  {2,12} |  {2,∞} |  {2,iπ/λ} | |
 |  | |  |  | |  |  |  |  |  |  |  |  | |